Hoe los je kwadratische vergelijkingen op door worteltrekken?

Het oplossen van kwadratische vergelijkingen door worteltrekken is een handige methode wanneer de vergelijking in de vorm $(...)^2 = c$ kan worden gebracht, waarbij $c$ een getal is. Dit betekent dat de variabele (zoals $x$ of $p$) alleen voorkomt binnen een kwadraat.

Hier is een stappenplan met het voorbeeld $(p-5)^2 - 4 = 20$:

Stap 1: Isoleer de term met het kwadraat. Zorg ervoor dat de term die in het kwadraat staat (in dit geval $(p-5)^2$) alleen aan één kant van het isgelijkteken staat.

• Begin met de vergelijking: $(p-5)^2 - 4 = 20$
• Om de '- 4' weg te krijgen, tel je aan beide kanten 4 op: $(p-5)^2 - 4 + 4 = 20 + 4$ $(p-5)^2 = 24$

Stap 2: Trek de wortel uit beide kanten. Om het kwadraat weg te halen, neem je de wortel van beide kanten van de vergelijking. Het is heel belangrijk om te onthouden dat er twee mogelijke oplossingen zijn wanneer je de wortel trekt: een positieve en een negatieve wortel. Dit komt omdat zowel een positief getal als een negatief getal, wanneer je het kwadrateert, een positieve uitkomst geeft (bijvoorbeeld $4^2 = 16$ en $(-4)^2 = 16$).

• Trek de wortel uit $(p-5)^2 = 24$: $p-5 = \sqrt{24}$ of $p-5 = -\sqrt{24}$

Stap 3: Isoleer de variabele. Nu heb je twee aparte, lineaire vergelijkingen die je kunt oplossen om de waarde van $p$ te vinden.

• Geval 1: $p-5 = \sqrt{24}$ Tel aan beide kanten 5 op: $p = 5 + \sqrt{24}$
• Geval 2: $p-5 = -\sqrt{24}$ Tel aan beide kanten 5 op: $p = 5 - \sqrt{24}$

Stap 4: Vereenvoudig de wortel (indien mogelijk). Je kunt $\sqrt{24}$ vereenvoudigen. Omdat $24 = 4 \times 6$, is $\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = \sqrt{4} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.

• De oplossingen zijn dus: $p = 5 + 2\sqrt{6}$ $p = 5 - 2\sqrt{6}$

Wanneer gebruik je deze methode? Deze methode is het meest efficiënt wanneer je de vergelijking kunt herschrijven naar de vorm $A^2 = c$, waarbij $A$ een uitdrukking is met de variabele (zoals $p-5$) en $c$ een constante. Als de vergelijking de vorm $ax^2 + bx + c = 0$ heeft en niet eenvoudig te herleiden is tot de vorm $A^2 = c$, dan zijn methoden zoals de som-productmethode of de ABC-formule geschikter. In ons voorbeeld, nadat we de wortel hebben getrokken, hadden we lineaire vergelijkingen, geen kwadratische, waardoor de som-productmethode of ABC-formule niet meer nodig waren.