Hoe bereken je zijden en hoeken in een rechthoekige driehoek met goniometrie?

Om zijden en hoeken in een rechthoekige driehoek te berekenen met goniometrie, gebruik je de goniometrische verhoudingen sinus (sin), cosinus (cos) en tangens (tan). Deze verhoudingen leggen een verband tussen de hoeken en de lengtes van de zijden van de driehoek.

1. Benoemen van de zijden

Voordat je begint met rekenen, is het belangrijk om de zijden van de rechthoekige driehoek correct te benoemen vanuit het perspectief van de hoek die je gebruikt:

• Overstaande zijde (O): Dit is de zijde die recht tegenover de hoek ligt waaruit je kijkt.
• Aanliggende zijde (A): Dit is de zijde die 'aan' de hoek vastzit, maar niet de schuine zijde is.
• Schuine zijde (S): Dit is de langste zijde van de driehoek en ligt altijd tegenover de rechte hoek (90 graden).

Voorbeeld: Stel je hebt een rechthoekige driehoek ABC, waarbij hoek B 90 graden is. Als je vanuit hoek A kijkt:

• BC is de overstaande zijde.
• AB is de aanliggende zijde.
• AC is de schuine zijde.

2. Ezelsbruggetje SOS CAS TOA

Om te onthouden welke goniometrische functie je moet gebruiken, is er een handig ezelsbruggetje: SOS CAS TOA.

• SOS: Sinus = Overstaande zijde / Schuine zijde
  • $\sin(\text{hoek}) = \frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}$
• CAS: Cosinus = Aanliggende zijde / Schuine zijde
  • $\cos(\text{hoek}) = \frac{\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}}$
• TOA: Tangens = Overstaande zijde / Aanliggende zijde
  • $\tan(\text{hoek}) = \frac{\text{overstaande zijde}}{\text{aanliggende zijde}}$

3. Zijden berekenen

Om een zijde te berekenen, heb je een hoek en één andere zijde nodig.

Voorbeeld 1: Overstaande zijde berekenen met sinus Stel, je hebt een rechthoekige driehoek met:

• Hoek A = 30 graden
• Schuine zijde (AC) = 10 cm

Je wilt de lengte van de overstaande zijde (BC) berekenen.

1. Kies de juiste functie: Je hebt de hoek, de schuine zijde en je zoekt de overstaande zijde. Dit past bij SOS (Sinus = Overstaande / Schuine).
2. Stel de formule op: $\sin(A) = \frac{BC}{AC}$
3. Vul de bekende waarden in: $\sin(30^\circ) = \frac{BC}{10}$
4. Los de vergelijking op voor BC: $BC = 10 \cdot \sin(30^\circ)$ $BC = 10 \cdot 0,5$ $BC = 5$ cm

Voorbeeld 2: Aanliggende zijde berekenen met cosinus Stel, je hebt een rechthoekige driehoek met:

• Hoek X = 55 graden
• Schuine zijde (XZ) = 12 cm

Je wilt de lengte van de aanliggende zijde (XY) van hoek X berekenen.

1. Kies de juiste functie: Je hebt de hoek, de schuine zijde en je zoekt de aanliggende zijde. Dit past bij CAS (Cosinus = Aanliggende / Schuine).
2. Stel de formule op: $\cos(X) = \frac{XY}{XZ}$
3. Vul de bekende waarden in: $\cos(55^\circ) = \frac{XY}{12}$
4. Los de vergelijking op voor XY: $XY = 12 \cdot \cos(55^\circ)$ $XY \approx 12 \cdot 0,5736$ $XY \approx 6,88$ cm (afgerond 6,9 cm)

4. Hoeken berekenen

Om een hoek te berekenen, heb je de lengtes van twee zijden nodig. Je gebruikt dan de inverse goniometrische functies ($sin^{-1}$, $cos^{-1}$, $tan^{-1}$ of arcsin, arccos, arctan).

Voorbeeld: Hoek berekenen met inverse tangens Stel, je hebt een rechthoekige driehoek PQR, waarbij hoek Q 90 graden is, en:

• Overstaande zijde (QR) van hoek P = 6 cm
• Aanliggende zijde (PQ) van hoek P = 8 cm

Je wilt hoek P berekenen.

1. Kies de juiste functie: Je hebt de overstaande en aanliggende zijde. Dit past bij TOA (Tangens = Overstaande / Aanliggende).
2. Stel de formule op: $\tan(P) = \frac{QR}{PQ}$
3. Vul de bekende waarden in: $\tan(P) = \frac{6}{8}$ $\tan(P) = 0,75$
4. Gebruik de inverse tangens om P te vinden: $P = \tan^{-1}(0,75)$ $P \approx 36,87^\circ$

De inverse goniometrische functies helpen je om van de verhouding van de zijden terug te rekenen naar de grootte van de hoek in graden.

5. Speciale eigenschap van de 30-60-90 graden driehoek

Een handige eigenschap om te onthouden is dat in een rechthoekige driehoek de zijde die tegenover de hoek van 30 graden ligt, altijd precies de helft is van de schuine zijde. In Voorbeeld 1 was de schuine zijde 10 cm en de overstaande zijde van de 30-graden hoek 5 cm, wat precies de helft is.