Hoeken berekenen met goniometrie

Leerdoelen

•Je kunt hoeken berekenen met goniometrie.

Rechthoekige driehoek

Een rechthoekige driehoek heeft altijd twee rechthoekzijden en één schuine zijde. De schuine zijde is de langste zijde en staat altijd tegenover de rechte hoek. Onthoud dat de schuine zijde niet altijd schuin getekend hoeft te zijn, maar het is altijd de langste zijde.

SOS-CAS-TOA

Dit ezelsbruggetje helpt ons om de juiste goniometrische functie te kiezen:

SOS: Sinus van een hoek is de overstaande rechthoekzijde gedeeld door de schuine zijde.

CAS: Cosinus van een hoek is de aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de schuine zijde.

TOA: Tangens van een hoek is de overstaande rechthoekzijde gedeeld door de aanliggende rechthoekzijde.

Voorbeeld 1: Gebruik van sinus

Stel, we hebben een driehoek met een overstaande zijde van 4 en een schuine zijde van 6. We willen hoek H berekenen. We gebruiken SOS omdat we de overstaande en schuine zijde hebben.

\sin\angle H=\frac{4}{6}\sin\angle=\frac{4}{6}\sin=\frac{4}{6}\sin=\frac{4}{6}\sin=\frac{4}{6}\sin=\frac{4}{6}\sin=\frac{4}{6}\sin=\frac{4}{6}\sin=\frac{4}{6}si=\frac{4}{6}s=\frac{4}{6}=\frac{4}{6}s=\frac{4}{6}si=\frac{4}{6}sin=\frac{4}{6}si=\frac{4}{6}sin=\frac{4}{6}

Om hoek H te vinden, gebruiken we de sinus-inverse: \text{sin}^{-1}(\frac46)\approx42^{\circ}\text{sin}^{-1}()\approx42^{\circ}\text{sin}^{-1}()\approx42^{\circ}\text{sin}^{-1}()\approx42^{\circ}\text{sin}^{-1}()\approx42^{\circ}\text{sin}^{-1}()\approx42^{\circ}\text{sin}^{-1}()\approx42^{\circ}\text{sin}^{-1}()\approx42^{\circ}\text{sin}^{-1}()\approx42^{\circ}\text{sin}^{-1}()\approx42^{\circ}\text{sin}^{-1}()\approx42^{\circ}\text{sin}^{-1}()\approx42^{\circ}\text{sin}^{-1}()\approx42^{\circ}\text{sin}^{-1}(4)\approx42^{\circ}\text{sin}^{-1}(4/)\approx42^{\circ}

Voorbeeld 2: Gebruik van cosinus

In een andere driehoek hebben we een aanliggende zijde van 5 en een schuine zijde van 8. We willen weer hoek H berekenen. We gebruiken CAS omdat we de aanliggende en schuine zijde hebben.

\cos\angle H=\frac58\cos\angle H=\frac56\cos\angle H=\frac{4}{6}co\angle H=\frac{4}{6}coo\angle H=\frac{4}{6}coos\angle H=\frac{4}{6}coo\angle H=\frac{4}{6}co\angle H=\frac{4}{6}coi\angle H=\frac{4}{6}cois\angle H=\frac{4}{6}coi\angle H=\frac{4}{6}coi\angle H=\frac{4}{6}c\angle H=\frac{4}{6}

Om hoek H te vinden, gebruiken we de cosinus-inverse:

Voorbeeld 3: Gebruik van tangens

In een laatste voorbeeld hebben we een overstaande zijde van 10 en een aanliggende zijde van 9. We willen hoek H berekenen. We gebruiken TOA omdat we de overstaande en aanliggende zijde hebben.

\tan\angle H=\frac{10}{9}\tan\angle H=\frac{10}{8}\tan\angle H=\frac18\tan\angle H=\frac58ta\angle H=\frac58t\angle H=\frac58

Om hoek H te vinden, gebruiken we de tangens-inverse:\text{tan}^{-1}(\frac{10}{9})\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}()\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}(1)\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}(10)\approx48^{\circ}\text{tan}^{-1}(10/)\approx48^{\circ}

Oefening

Bereken de hoeken met het vraagteken in onderstaande afbeelding.

Linker driehoek: De overstaande en de schuine hoek zijn bekend, dus we moeten de sinus gebruiken.

\sin\angle C=\frac47,\sin\angle C=\frac47\sin\angle C=\frac46\sin\angle C=\frac{4}{6}dus voor hoek C geldt:\text{sin}^{-1}(\frac47)\approx35^{\circ}\text{sin}^{-1}(\frac47)\approx3^{\circ}\text{sin}^{-1}(\frac47)\approx42^{\circ}

Driehoek in het midden: De aanliggende en overstaande hoek zijn bekend, dus we moeten de tangens gebruiken.

\tan\angle E=\frac{10}{4},\tan\angle E=\frac{10}{4}\tan\angle E=\frac{10}{4}\tan\angle E=\frac{10}{4}\tan\angle E=\frac{10}{4}\tan\angle E=\frac{10}{4}\tan\angle E=\frac{10}{4}\tan\angle E=\frac{10}{4}\tan\angle E=\frac{10}{4}\tan\angle E=\frac{10}{9}dus voor hoek E geldt:\text{tan}^{-1}(\frac{10}{4})\approx68^{\circ}\text{tan}^{-1}(\frac{10}{4})\approx6^{\circ}\text{tan}^{-1}(\frac{10}{4})\approx48^{\circ}

Rechter driehoek: De aanliggende en schuine zijde zijn bekend, dus we moeten de cosinus gebruiken.

\cos\angle H=\frac69,\cos\angle H=\frac69,\cos\angle H=\frac69\cos\angle H=\frac68dus voor hoek H geldt: \text{cos}^{-1}(\frac69)\approx48^{\circ}\text{cos}^{-1}(\frac69)\approx4^{\circ}\text{cos}^{-1}(\frac69)\approx^{\circ}\text{cos}^{-1}(\frac69)\approx5^{\circ}\text{cos}^{-1}(\frac69)\approx51^{\circ}\text{cos}^{-1}(\frac{6}{})\approx51^{\circ}\text{cos}^{-1}(\frac68)\approx51^{\circ}\text{cos}^{-1}(\frac{}{8})\approx51^{\circ}