Hoe bereken je een hoek met goniometrie?

Het berekenen van een hoek met goniometrie is de omgekeerde beweging van het berekenen van een zijde. Je maakt hierbij gebruik van de inverse goniometrische functies.

Net zoals je de tangens (TOA) gebruikt om een zijde te vinden, gebruik je de inverse tangens (aangeduid als $\tan^{-1}$ of arctan op je rekenmachine) om een hoek te vinden wanneer je de verhouding van de overstaande en aanliggende zijde kent.

De algemene formule hiervoor is: $\text{Hoek} = \tan^{-1}\left(\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}\right)$

Op je rekenmachine druk je hiervoor meestal eerst op 'second' of 'shift' en daarna op de 'tan'-knop, gevolgd door de breuk van de zijden tussen haakjes.

Natuurlijk zijn er ook inverse functies voor de sinus ($\sin^{-1}$ of arcsin) en cosinus ($\cos^{-1}$ of arccos) als je andere zijden van de rechthoekige driehoek kent. Welke functie je gebruikt, hangt af van welke zijden je weet ten opzichte van de hoek die je wilt berekenen.

Voorbeeld: Stel je hebt een rechthoekige driehoek ABC, waarbij hoek B de rechte hoek is. De zijde AB is 8 cm lang en de zijde BC is 6 cm lang. Je wilt hoek A berekenen.

1. Identificeer de zijden vanuit hoek A:
   • BC is de overstaande zijde (6 cm).
   • AB is de aanliggende zijde (8 cm).
2. Kies de juiste goniometrische functie: Omdat je de overstaande en aanliggende zijde hebt, gebruik je de tangens (TOA).
3. Stel de formule op: $\tan(\text{hoek A}) = \frac{\text{overstaande zijde}}{\text{aanliggende zijde}} = \frac{BC}{AB}$
4. Vul de waarden in en bereken de hoek: $\tan(\text{hoek A}) = \frac{6}{8}$ $\text{hoek A} = \tan^{-1}\left(\frac{6}{8}\right)$ $\text{hoek A} \approx 36,87^\circ$

Nog een voorbeeld: Stel je hebt een rechthoekige driehoek PQR, waarbij hoek Q de rechte hoek is. De schuine zijde PR is 13 cm lang en de zijde PQ is 5 cm lang. Je wilt hoek R berekenen.

1. Identificeer de zijden vanuit hoek R:
   • PQ is de overstaande zijde (5 cm).
   • PR is de schuine zijde (13 cm).
2. Kies de juiste goniometrische functie: Omdat je de overstaande en de schuine zijde hebt, gebruik je de sinus (SOS).
3. Stel de formule op: $\sin(\text{hoek R}) = \frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}} = \frac{PQ}{PR}$
4. Vul de waarden in en bereken de hoek: $\sin(\text{hoek R}) = \frac{5}{13}$ $\text{hoek R} = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$ $\text{hoek R} \approx 22,62^\circ$