Wat zijn hoeken en graden en hoe bereken je ze?

Een hoek is de ruimte tussen twee lijnen (benen) die vanuit hetzelfde punt (het hoekpunt) komen. De grootte van een hoek wordt uitgedrukt in graden (°). Om een hoek te meten, gebruik je een geodriehoek. Het is daarbij superbelangrijk om goed op te letten of de hoek die je meet kleiner of groter is dan 90 graden. Dit bepaalt welke schaalverdeling op je geodriehoek je moet aflezen. Soms zijn de benen van een hoek te kort om nauwkeurig af te lezen; dan is het handig om ze even te verlengen met je potlood en liniaal.

Basisregels voor het berekenen van hoeken

Voordat je met ingewikkeldere berekeningen begint, zijn er een paar basisregels die je altijd kunt gebruiken:

• Rechte hoek: Een rechte hoek is precies 90 graden. Je herkent deze vaak aan een klein vierkantje in de hoek.
• Gestrekte hoek: Een gestrekte hoek is een rechte lijn en is altijd 180 graden. Als meerdere hoeken samen een gestrekte hoek vormen, is hun som 180 graden.
• Overstaande hoeken: Wanneer twee lijnen elkaar snijden, ontstaan er vier hoeken. De hoeken die tegenover elkaar liggen, noemen we overstaande hoeken, en deze zijn altijd aan elkaar gelijk.

Hoeken berekenen met goniometrie

Als je te maken hebt met een rechthoekige driehoek, kun je hoeken berekenen met behulp van goniometrie. Dit klinkt misschien ingewikkeld, maar met het ezelsbruggetje SOS CAS TOA wordt het een stuk makkelijker! Dit ezelsbruggetje helpt je te onthouden welke verhouding van zijden bij welke goniometrische functie hoort, vanuit een bepaalde hoek in de driehoek.

Laten we de onderdelen van SOS CAS TOA eens bekijken:

1. TOA (Tangens)

   • De tangens gebruik je als je de Overstaande rechthoekszijde (O) en de Aanliggende rechthoekszijde (A) kent, of wilt berekenen.
   • De formule is: $\text{tangens (hoek)} = \frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}$
   • Als je de hoek wilt weten, gebruik je de inverse tangens (op je rekenmachine vaak 'tan⁻¹' of 'shift tan'). Vergeet de haakjes niet! Bijvoorbeeld: $\text{hoek} = \text{tan}^{-1}\left(\frac{\text{overstaand}}{\text{aanliggend}}\right)$.

2. CAS (Cosinus)

   • De cosinus gebruik je als je de Aanliggende rechthoekszijde (A) en de Schuine zijde (S) kent, of wilt berekenen. De schuine zijde is altijd de zijde tegenover de rechte hoek.
   • De formule is: $\text{cosinus (hoek)} = \frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}$
   • Om de hoek te vinden, gebruik je de inverse cosinus ('cos⁻¹' of 'shift cos'). Bijvoorbeeld: $\text{hoek} = \text{cos}^{-1}\left(\frac{\text{aanliggend}}{\text{schuin}}\right)$.

3. SOS (Sinus)

   • De sinus gebruik je als je de Overstaande rechthoekszijde (O) en de Schuine zijde (S) kent, of wilt berekenen.
   • De formule is: $\text{sinus (hoek)} = \frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}$
   • Om de hoek te vinden, gebruik je de inverse sinus ('sin⁻¹' of 'shift sin'). Bijvoorbeeld: $\text{hoek} = \text{sin}^{-1}\left(\frac{\text{overstaand}}{\text{schuin}}\right)$.

Voorbeeld van het berekenen van een hoek met goniometrie: Stel, je hebt een rechthoekige driehoek ABC, waarbij de rechte hoek bij B is. De zijde AB (aanliggend aan hoek A) is 4 cm en de zijde BC (overstaand aan hoek A) is 3 cm. Je wilt hoek A berekenen.

1. Kies de juiste formule: Je kent de overstaande zijde (BC) en de aanliggende zijde (AB) ten opzichte van hoek A. Daarom gebruik je de tangens (TOA).
2. Vul de waardes in: $\text{tangens (hoek A)} = \frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}} = \frac{\text{BC}}{\text{AB}} = \frac{3}{4}$
3. Bereken de hoek: Gebruik de inverse tangens op je rekenmachine: $\text{hoek A} = \text{tan}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36,87^\circ$ Dus, hoek A is ongeveer 36,87 graden.

Belangrijke tips:

• Maak altijd een schets van de situatie als die er nog niet is.
• Bedenk vanuit welke hoek je kijkt om te bepalen welke zijde de overstaande, aanliggende of schuine zijde is.
• Er zijn vaak meerdere manieren om tot de oplossing te komen, dus geef niet te snel op en probeer verschillende regels of methoden!