Zijden berekenen met goniometrie

Leerdoelen

•Je kunt de zijden van een driehoek berekenen met goniometrie.

•Je kunt het ezelbruggetje SOS CAS TOA uitleggen en gebruiken.

Het ezelsbruggetje SOS CAS TOA

SOS CAS TOA is een ezelsbruggetje dat ons helpt de juiste goniometrische verhouding te kiezen:

•SOS:

•CAS: \text{Cosinus van een hoek }=\frac{\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}}

•TOA: \text{Tangens van een hoek }=\frac{\text{overstaande zijde}}{\text{aanliggende zijde}}

Voorbeelden

Voorbeeld 1: Berekenen van de schuine zijde

Stel je voor dat we de zijde AB willen berekenen. We weten dat hoek A 35 graden is en dat de overstaande zijde BC 6 is.

Omdat we de schuine zijde willen weten en we de overstaande zijde hebben, gebruiken we SOS (sinus).

Formule:\text{Sinus van hoek A }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{Sinus van hoek }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{Sinus van hoek a }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{Sinus van hoek }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{Sinus van hoek }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{Sinus van hoe }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{Sinus van hoe }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{Sinus van ho }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{Sinus van h }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{Sinus van h }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{e}\text{Sinus van h }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{e }\text{Sinus van h }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{e a}\text{Sinus van h }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{e }\text{Sinus van h }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{ek}\text{Sinus van h }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{e}\text{Sinus van h }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{Sinus van h }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{Sinus van een hoek }=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\text{Sinus van een hoek }=\frac{\text{BC}}{\text{A}}\text{Sinus van een hoek }=\frac{\text{BC}}{\text{schuine zijde}}\text{Sinus van een hoek }=\frac{\text{B}}{\text{schuine zijde}}

Vervang de waarden:\sin35\degree=\frac{6}{\text{AB}}\sin35\degree=\frac{6}{\text{AB}A}\sin35\degree=\frac{6}{\text{AB}AB}\sin35\degree=\frac{6}{AB}\sin35\degree=\frac{6}{AB}\sin35\degree=\frac{6}{AB}\sin35\degree=\frac{6}{AB}\sin35\degree=\frac{6}{AB}\sin35\degree=\frac{6}{AB}\sin35\degree=\frac{6}{AB}\sin35\degree=\frac{6}{AB}\sin35\degree=\frac{6}{AB}\sin35\degree=\frac{6}{AB}\sin35\degree=\frac{6}{AB}\sin35\degree=\frac{6}{AB}\sin35\degree=\frac{6}{AB}\sin35\degree=\frac{6}{AB}si35\degree=\frac{6}{AB}s35\degree=\frac{6}{AB}35\degree=\frac{6}{AB}s35\degree=\frac{6}{AB}s\in35\degree=\frac{6}{AB}si35\degree=\frac{6}{AB}s35\degree=\frac{6}{AB}si35\degree=\frac{6}{AB}sin35\degree=\frac{6}{AB}sin35=\frac{6}{AB}sin35=\frac{6}{AB}sin35=\frac{6}{AB}sin35=\frac{6}{AB}sin35=\frac{6}{AB}sin35=\frac{6}{AB}sin35=\frac{6}{AB}sin35=\frac{6}{AB}sin35\deg=\frac{6}{AB}sin35=\frac{6}{AB}sin35=\frac{6}{AB}sin35=\frac{6}{AB}sin35=\frac{6}{AB}sin35=\frac{6}{AB}

Bereken AB:AB=\frac{6}{\sin35\degree}AB=\frac{6}{\sin5\degree}AB=\frac{6}{si5\degree}AB=\frac{6}{s5\degree}AB=\frac{6}{5\degree}AB=\frac{6}{s5\degree}AB=\frac{6}{s\in5\degree}AB=\frac{6}{s\in35\degree}AB=\frac{6}{si35\degree}AB=\frac{6}{s35\degree}AB=\frac{6}{sn35\degree}

Gebruik je rekenmachine om de sinus van 35 graden te berekenen en deel 6 door deze waarde. Je vindt dat AB ongeveer 10,5 is.

Voorbeeld 2: Berekenen van de aanliggende zijde

Nu willen we de aanliggende zijde AC berekenen.

We weten dat hoek A 28 graden is en de schuine zijde AB 15 is. We gebruiken CAS (cosinus) omdat we de aanliggende en schuine zijde hebben.

Formule: \text{Cosinus van hoek C }=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}\text{Cosinus van hoek }=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}\text{Cosinus van hoek }=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}\text{Cosinus van hoe }=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}\text{Cosinus van ho }=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}\text{Cosinus van h }=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}\text{Cosinus van een hoek }=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}\text{Cosinus van een hoek }=\frac{\text{AC}}{\text{A}}\text{Cosinus van een hoek }=\frac{\text{AC}}{\text{schuine zijde}}\text{Cosinus van een hoek }=\frac{\text{A}}{\text{schuine zijde}}

Vervang de waarden: \cos28\degree=\frac{\text{AC}}{15}\cos28\degree=\frac{\text{AC}C}{15}\cos28\degree=\frac{\text{AC}AC}{15}\cos28\degree=\frac{AC}{15}\cos28\degree=\frac{AC}{15}\cos28\degree=\frac{AC}{15}\cos28\degree=\frac{AC}{15}\cos28\degree=\frac{AC}{15}\cos28\degree=\frac{AC}{15}\cos28\degree=\frac{AC}{15}\cos28\degree=\frac{AC}{15}\cos28\degree=\frac{AC}{15}\cos28\degree=\frac{AC}{15}\cos28\degree=\cos28\degree=\cos28\degree=\cos28\degree=\cos28\degree=\cos28\degree=\cos28\degree=\cos28\degree=\cos28\degree=\cos28\degree=\cos28\degree=\cos28\degree=\cos28\degree=\cos28\degree=\cos28\degree\cos28\cos28\cos28\cos28\cos28\cos28\cos28\cos28\cos28\cos28\cos28\cos28\cos28\cos28\cos2\coscoc\text{C}\text{CO}\text{C}

Bereken AC:\text{AC}=15\cdot\cos28\degree\text{AC}=15\cdot\cos28\degree\text{AC}=15\cdot co28\degree\text{AC}=15\cdot c28\degree\text{AC}=15\cdot28\degree\text{AC}=15\cdot c28\degree\text{AC}=15\cdot co28\degree

Vermenigvuldig 15 met de cosinus van 28 graden om AC te vinden. AC is ongeveer 13,2.

Voorbeeld 3: Berekenen van de aanliggende zijde

Laten we de overstaande zijde BC berekenen.

We weten dat hoek A 41 graden is en de aanliggende zijde BC 6 is. We gebruiken TOA (tangens) omdat we de overstaande en aanliggende zijde hebben.

Formule: \text{Tangens van hoek C}=\frac{\text{BC}}{\text{AC}}\text{Tangens van hoek }=\frac{\text{BC}}{\text{AC}}\text{Tangens van hoek}=\frac{\text{BC}}{\text{AC}}\text{Tangens van hoe}=\frac{\text{BC}}{\text{AC}}\text{Tangens van ho}=\frac{\text{BC}}{\text{AC}}\text{Tangens van h}=\frac{\text{BC}}{\text{AC}}\text{Tangens van }=\frac{\text{BC}}{\text{AC}}\text{Tangens van e}=\frac{\text{BC}}{\text{AC}}\text{Tangens van een hoek }=\frac{\text{BC}}{\text{AC}}\text{Tangens van een hoek }=\frac{\text{BC}}{\text{A}}\text{Tangens van een hoek }=\frac{\text{BC}}{\text{aanliggende zijde}}\text{Tangens van een hoek }=\frac{\text{B}}{\text{aanliggende zijde}}

Vervang de waarden:\tan41\degree=\frac{6}{\text{AC}}ta41\degree=\frac{6}{\text{AC}}t41\degree=\frac{6}{\text{AC}}

Bereken AC: AC=\frac{6}{\tan41\degree}A=\frac{6}{\tan41\degree}AC=\frac{6}{\tan41\degree}=\frac{6}{\tan41\degree}=\frac{6}{\tan41\degree}=\frac{6}{\tan41\degree}=\frac{6}{}=\frac{6}{\text{A}}=\frac{6}{\text{AC}}A=\frac{6}{\text{AC}}

Deel 6 door de tangens van 41 graden om AC te vinden. BC is ongeveer 6,9.

Oefening

Bereken de zijdes met het vraagteken in onderstaande afbeelding.

•Linker driehoek: Het is bekend dat hoek B 48 graden is. We willen de schuine zijde berekenen en de aanliggende zijde is bekend. We gebruiken dus de cosinus.

\cos\angle B=\frac{\text{AB}}{\text{BC}},\cos\angle B=\frac{\text{AB}}{\text{BC}}\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B=\cos\angle B\cos\angle\cos\angle V\cos\angle\cos\cos\cos\cos\cos\cos\coscocdus\cos48\degree=\frac{10}{\text{BC}}.\cos48\degree=\frac{10}{\text{BC}}\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree=\cos48\degree\cos48\cos48\cos48\cos48\cos48\cos48\cos48\cos48\cos4\coscocDit schrijven we om en dan berekenen we BC: BC=\frac{10}{cos48\degree}\approx14{,}9.BC=\frac{10}{cos48\degree}\approx14{,}9BC=\frac{10}{cos48\degree}\approx14{,}9BC=\frac{10}{cos48\degree}\approx14{,}BC=\frac{10}{cos48\degree}\approx14BC=\frac{10}{cos48\degree}\approx1BC=\frac{10}{cos48\degree}\approxBC=\frac{10}{cos48\degree}BC=\frac{10}{cos48\degree}BC=\frac{10}{cos48\degree}BC=\frac{10}{cos48\degree}BC=\frac{10}{cos48\degree}BC=\frac{10}{cos48\degree}BC=\frac{10}{cos48\degree}BC=\frac{10}{cos48\degree}BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BC=BCB

•Driehoek in het midden: Het is bekend dat hoek D 31 graden is. We willen de overstaande zijde berekenen en we weten de aanliggende zijde. We gebruiken hiervoor de tangens.

\tan\angle D=\frac{\text{EF}}{\text{DE}},\tan\angle D=\frac{\text{EF}}{\text{DE}}\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D=\tan\angle D\tan\angle\tan\tan\tan\tan\tan\tan\tantatdus\tan31\degree=\frac{\text{EF}}{8}.\tan31\degree=\frac{\text{EF}}{8}\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\degree\tan31\tan31\tan31\tan31\tan31\tan31\tan31\tan31\tan3\tantatDit schrijven we om en dan berekenen we EF:EF=8\cdot\tan31\degree\approx4{,}8.EF=8\cdot\tan31\degree\approx4{,}8EF=8\cdot\tan31\degree\approx4{,}8EF=8\cdot\tan31\degree\approx4{,}EF=8\cdot\tan31\degree\approx4EF=8\cdot\tan31\degree\approxEF=8\cdot\tan31\degreeEF=8\cdot\tan31\degreeEF=8\cdot\tan31\degreeEF=8\cdot\tan31\degreeEF=8\cdot\tan31\degreeEF=8\cdot\tan31\degreeEF=8\cdot\tan31\degreeEF=8\cdot\tan31\degreeEF=8\cdot\tan31EF=8\cdot\tan31EF=8\cdot\tan31EF=8\cdot\tan31EF=8\cdot\tan31EF=8\cdot\tan31EF=8\cdot\tan31EF=8\cdot\tan31EF=8\cdot\tan3EF=8\cdot\tanEF=8\cdot taEF=8\cdot tEF=8\cdotEF=8EF=8EF=8EF=8EF=8EF=8EF=EFE

•Rechter driehoek: Het is bekend dat hoek H 55 graden is. We willen de overstaande zijde berekenen en de schuine zijde is bekend. We gebruiken hiervoor de sinus.

\sin\angle H=\frac{\text{GI}}{\text{GH}},\sin\angle H=\frac{\text{GI}}{\text{GH}},\sin\angle H=\frac{\text{GI}}{\text{GH}}\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H=\sin\angle H\sin\angle\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sinsisdus\sin55\degree=\frac{\text{GI}}{15}.\sin55\degree=\frac{\text{GI}}{15}\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree=\sin55\degree\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sin\sinsisDit schrijven we om naar GI:GI=15\cdot\sin55\degree\approx12{,}3.GI=15\cdot\sin55\degree\approx12{,}3.GI=15\cdot\sin55\degree\approx12{,}3GI=15\cdot\sin55\degree\approx12{,}3GI=15\cdot\sin55\degree\approx12{,}GI=15\cdot\sin55\degree\approx12GI=15\cdot\sin55\degree\approx1GI=15\cdot\sin55\degree\approxGI=15\cdot\sin55\degreeGI=15\cdot\sin55\degreeGI=15\cdot\sin55\degreeGI=15\cdot\sin55\degreeGI=15\cdot\sin55\degreeGI=15\cdot\sin55\degreeGI=15\cdot\sin55\degreeGI=15\cdot\sin55\degreeGI=15\cdot\sin55GI=15\cdot\sin55GI=15\cdot\sin55GI=15\cdot\sin55GI=15\cdot\sin55GI=15\cdot\sin55GI=15\cdot\sin55GI=15\cdot\sin55GI=15\cdot\sin55GI=15\cdot\sin55GI=15\cdot\sin5GI=15\cdot\sinGI=15\cdot siGI=15\cdot sGI=15\cdotGI=15GI=15GI=15GI=15GI=15GI=15GI=1GI=GIGI=GIG