Hoe bereken je de constante b in een lineaire formule?

De constante $b$ in een lineaire formule van de vorm $y = ax + b$ (of $q = ap + b$, etc.) staat voor het snijpunt met de y-as. Dit is het punt waar de lijn de y-as snijdt, en op dit punt is de x-coördinaat altijd $0$.

Je kunt de constante $b$ op verschillende manieren berekenen, afhankelijk van de informatie die je hebt:

Methode 1: Je kent de richtingscoëfficiënt ($a$) en één punt $(x, y)$

Als je de richtingscoëfficiënt ($a$) van de lijn weet en de coördinaten van één punt $(x, y)$ dat op de lijn ligt, kun je $b$ berekenen door deze waarden in de formule in te vullen.

Stappenplan:

1. Vul de bekende waarde van $a$ in de formule $y = ax + b$.
2. Vul de $x$-coördinaat en de $y$-coördinaat van het gegeven punt in de formule in.
3. Los de vergelijking op om $b$ te vinden.

Voorbeeld: Stel, je hebt de formule $y = -1,5x + b$ en de lijn gaat door het punt $(3, 4.5)$.

1. De richtingscoëfficiënt $a$ is al bekend: $-1,5$.
2. Vul $x = 3$ en $y = 4.5$ in de formule in: $4.5 = -1,5 \times 3 + b$
3. Reken het deel met $x$ uit: $4.5 = -4,5 + b$
4. Los op voor $b$ door aan beide kanten $+4,5$ te doen: $4.5 + 4.5 = b$ $9 = b$ De constante $b$ is dus $9$. De formule is $y = -1,5x + 9$.

Voorbeeld 2: Lijn k heeft richtingscoëfficiënt $2,4$ en gaat door punt A $(-5, 2)$.

1. De richtingscoëfficiënt $a$ is $2,4$.
2. Vul $x = -5$ en $y = 2$ in de formule $y = 2,4x + b$ in: $2 = 2,4 \times -5 + b$
3. Reken het deel met $x$ uit: $2 = -12 + b$
4. Los op voor $b$ door aan beide kanten $+12$ te doen: $2 + 12 = b$ $14 = b$ De constante $b$ is dus $14$. De formule van lijn k is $y = 2,4x + 14$.

Methode 2: Je kent twee punten $(x_1, y_1)$ en $(x_2, y_2)$

Als je twee punten kent waar de lijn doorheen gaat, moet je eerst de richtingscoëfficiënt ($a$) berekenen voordat je $b$ kunt vinden.

Stappenplan:

1. Bereken de richtingscoëfficiënt ($a$) met de formule: $a = \frac{\text{verschil in } y}{\text{verschil in } x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
2. Kies één van de twee gegeven punten.
3. Vul de berekende waarde van $a$ en de coördinaten van het gekozen punt in de formule $y = ax + b$.
4. Los de vergelijking op om $b$ te vinden (zie Methode 1).

Voorbeeld: Stel een formule op van de vorm $y = ax + b$ voor de punten $(4, 6)$ en $(2, 9)$.

1. Bereken de richtingscoëfficiënt ($a$): $x_1 = 4, y_1 = 6$ $x_2 = 2, y_2 = 9$ $a = \frac{9 - 6}{2 - 4} = \frac{3}{-2} = -1,5$ De formule is nu $y = -1,5x + b$.
2. Kies één punt, bijvoorbeeld $(4, 6)$.
3. Vul $x = 4$ en $y = 6$ in de formule in: $6 = -1,5 \times 4 + b$
4. Reken het deel met $x$ uit: $6 = -6 + b$
5. Los op voor $b$ door aan beide kanten $+6$ te doen: $6 + 6 = b$ $12 = b$ De constante $b$ is dus $12$. De complete formule is $y = -1,5x + 12$.

Voorbeeld 2 (met andere variabelen): Scott verkoopt tapas. Bij $p = 75$ eurocent geldt $q = 400$ verkochte tapas, en bij $p = 125$ eurocent geldt $q = 200$. Stel de formule van $q$ op in de vorm $q = ap + b$.

1. Bereken de richtingscoëfficiënt ($a$): Punten zijn $(p_1, q_1) = (75, 400)$ en $(p_2, q_2) = (125, 200)$. $a = \frac{q_2 - q_1}{p_2 - p_1} = \frac{200 - 400}{125 - 75} = \frac{-200}{50} = -4$ De formule is nu $q = -4p + b$.
2. Kies één punt, bijvoorbeeld $(75, 400)$.
3. Vul $p = 75$ en $q = 400$ in de formule in: $400 = -4 \times 75 + b$
4. Reken het deel met $p$ uit: $400 = -300 + b$
5. Los op voor $b$ door aan beide kanten $+300$ te doen: $400 + 300 = b$ $700 = b$ De constante $b$ is dus $700$. De complete formule is $q = -4p + 700$.