Hoe stel je een lineaire formule op en gebruik je deze voor berekeningen?

Een lineaire formule beschrijft een verband waarbij de verandering constant is. De algemene vorm is vaak $y = ax + b$ of, in een contextuele situatie zoals met tijd ($t$) en water ($W$), $W = at + b$.

Hierin staat:

• $a$ voor de richtingscoëfficiënt (de constante verandering per eenheid, bijvoorbeeld per minuut).
• $b$ voor het begingetal (de beginhoeveelheid of de waarde van $y$ als $x$ of $t$ nul is).

Stap 1: Bepaal de richtingscoëfficiënt ($a$) De richtingscoëfficiënt ($a$) is de hoeveelheid die er per eenheid tijd (of andere variabele) bijkomt of afgaat.

• Voorbeeld: Als er elk kwartier 105 liter water in een zwembad stroomt, en we willen de formule in minuten, dan berekenen we de hoeveelheid per minuut:
  • 1 kwartier = 15 minuten
  • $a = \frac{105 \text{ liter}}{15 \text{ minuten}} = 7 \text{ liter/minuut}$.

Stap 2: Bepaal het begingetal ($b$) Het begingetal ($b$) is de hoeveelheid die aanwezig is op het moment dat de tijd ($t$) nul is (het startmoment).

• Voorbeeld: Als de stopwatch wordt gestart wanneer er 1 m³ water in het zwembad zit, dan is dit de beginhoeveelheid. Let op de eenheden:
  • 1 m³ = 1000 liter.
  • Dus, $b = 1000$ liter.

Stap 3: Stel de volledige formule op Combineer de gevonden $a$ en $b$ in de algemene vorm.

• Voorbeeld: Met $a = 7$ en $b = 1000$ wordt de formule voor het aantal liter water $W$ in het zwembad na $t$ minuten: $W = 7t + 1000$

Gebruik van de formule voor berekeningen:

1. Berekenen van een waarde op een specifiek tijdstip: Vul de gegeven tijd in de formule in om de bijbehorende hoeveelheid te vinden.

   • Voorbeeld: Hoeveel water zit er in het zwembad na 2 uur en 20 minuten?
     • Reken de tijd om naar minuten: 2 uur = $2 \times 60 = 120$ minuten. Totaal: $120 + 20 = 140$ minuten.
     • Vul $t = 140$ in de formule in: $W = 7 \times 140 + 1000$ $W = 980 + 1000$ $W = 1980$
     • Na 2 uur en 20 minuten zit er 1980 liter water in het zwembad.

2. Bepalen van een evenredig verband: Een evenredig verband heeft de vorm $y = ax$ (of $W = at$), wat betekent dat het begingetal $b$ nul is. Als je wilt weten wanneer er sprake zou zijn van een evenredig verband, moet je bepalen wanneer de beginhoeveelheid nul zou zijn.

   • Voorbeeld: Hoeveel eerder had de stopwatch gestart moeten worden opdat er sprake is van een evenredig verband tussen $W$ en $t$?
     • We willen dat $W = 7t$. Dit betekent dat de beginhoeveelheid $b$ nul moet zijn.
     • In onze formule $W = 7t + 1000$ is de beginhoeveelheid 1000 liter. Om een evenredig verband te krijgen, moet de hoeveelheid water op $t=0$ nul zijn.
     • We zoeken de tijd $t$ waarbij $W=0$: $0 = 7t + 1000$ $7t = -1000$ $t = -\frac{1000}{7}$ minuten
     • Dit betekent dat de stopwatch $\frac{1000}{7}$ minuten eerder gestart had moeten worden.
     • Om dit in seconden nauwkeurig te geven: $t = \frac{1000}{7} \times 60 \text{ seconden}$ $t \approx 8571,428... \text{ seconden}$
     • Afgerond op hele seconden is dat 8571 seconden.