Hoe leid je een lineaire formule af uit een tabel?

Een lineaire formule beschrijft een verband waarbij de verandering constant is. De algemene vorm is vaak $y = ax + b$ of, in een contextuele situatie zoals met tijd ($t$) en water ($W$), $W = at + b$.

Hierin staat:

• $a$ voor de richtingscoëfficiënt (de constante verandering per eenheid, bijvoorbeeld per minuut of per stap in een tabel). Dit wordt ook wel het stijg- of daalgetal genoemd.
• $b$ voor het begingetal (de beginhoeveelheid of de waarde van $y$ als $x$ of $t$ nul is). Dit wordt ook wel het startgetal genoemd.

Je kunt een lineaire formule opstellen op verschillende manieren:

1. Een lineaire formule opstellen vanuit een beschrijving:

Stap 1: Bepaal de richtingscoëfficiënt ($a$) De richtingscoëfficiënt ($a$) is de hoeveelheid die er per eenheid tijd (of andere variabele) bijkomt of afgaat.

• Voorbeeld: Als er elk kwartier 105 liter water in een zwembad stroomt, en we willen de formule in minuten, dan berekenen we de hoeveelheid per minuut:
  • 1 kwartier = 15 minuten
  • $a = \frac{105 \text{ liter}}{15 \text{ minuten}} = 7 \text{ liter/minuut}$.

Stap 2: Bepaal het begingetal ($b$) Het begingetal ($b$) is de hoeveelheid die aanwezig is op het moment dat de tijd ($t$) nul is (het startmoment).

• Voorbeeld: Als de stopwatch wordt gestart wanneer er 1 m³ water in het zwembad zit, dan is dit de beginhoeveelheid. Let op de eenheden:
  • 1 m³ = 1000 liter.
  • Dus, $b = 1000$ liter.

Stap 3: Stel de volledige formule op Combineer de gevonden $a$ en $b$ in de algemene vorm.

• Voorbeeld: Met $a = 7$ en $b = 1000$ wordt de formule voor het aantal liter water $W$ in het zwembad na $t$ minuten: $W = 7t + 1000$

2. Een lineaire formule afleiden uit een tabel:

Bij een tabel met regelmaat kun je ook een formule opstellen.

Stap 1: Vind de richtingscoëfficiënt ($a$)

• Kijk hoeveel er steeds bijkomt of afgaat bij de y-waarden, als de x-waarden met 1 omhoog gaan. Dit getal is je richtingscoëfficiënt ($a$).
• Voorbeeld:

  x	y
  0	5
  1	8
  2	11
  3	14
  Hier komt er steeds 3 bij de y-waarde als de x-waarde met 1 omhoog gaat. Dus $a = 3$.

Stap 2: Vind het begingetal ($b$)

• Kijk wat de y-waarde is als de x-waarde 0 is. Dit getal is je begingetal ($b$).
• Voorbeeld: In de tabel hierboven is de y-waarde 5 als $x = 0$. Dus $b = 5$.

Stap 3: Stel de volledige formule op

• De standaardformule is $y = ax + b$. Vul de $a$ en $b$ die je hebt gevonden in deze formule in.
• Voorbeeld: Met $a = 3$ en $b = 5$ wordt de formule: $y = 3x + 5$

Gebruik van de formule voor berekeningen:

1. Berekenen van een waarde op een specifiek tijdstip of bij een specifieke x-waarde: Vul de gegeven tijd of x-waarde in de formule in om de bijbehorende hoeveelheid of y-waarde te vinden.

   • Voorbeeld (met $W = 7t + 1000$): Hoeveel water zit er in het zwembad na 2 uur en 20 minuten?

     • Reken de tijd om naar minuten: 2 uur = $2 \times 60 = 120$ minuten. Totaal: $120 + 20 = 140$ minuten.
     • Vul $t = 140$ in de formule in: $W = 7 \times 140 + 1000$ $W = 980 + 1000$ $W = 1980$
     • Na 2 uur en 20 minuten zit er 1980 liter water in het zwembad.

   • Voorbeeld (met $y = 3x + 5$): Wat is de waarde van y als $x = 5$?

     • Vul $x = 5$ in de formule in: $y = 3 \times 5 + 5$ $y = 15 + 5$ $y = 20$
     • Als $x = 5$, dan is $y = 20$.

2. Bepalen van een evenredig verband: Een evenredig verband heeft de vorm $y = ax$ (of $W = at$), wat betekent dat het begingetal $b$ nul is. Als je wilt weten wanneer er sprake zou zijn van een evenredig verband, moet je bepalen wanneer de beginhoeveelheid nul zou zijn.

   • Voorbeeld (met $W = 7t + 1000$): Hoeveel eerder had de stopwatch gestart moeten worden opdat er sprake is van een evenredig verband tussen $W$ en $t$?
     • We willen dat $W = 7t$. Dit betekent dat de beginhoeveelheid $b$ nul moet zijn.
     • In onze formule $W = 7t + 1000$ is de beginhoeveelheid 1000 liter. Om een evenredig verband te krijgen, moet de hoeveelheid water op $t=0$ nul zijn.
     • We zoeken de tijd $t$ waarbij $W=0$: $0 = 7t + 1000$ $7t = -1000$ $t = -\frac{1000}{7}$ minuten
     • Dit betekent dat de stopwatch $\frac{1000}{7}$ minuten eerder gestart had moeten worden.
     • Om dit in seconden nauwkeurig te geven: $t = \frac{1000}{7} \times 60 \text{ seconden}$ $t \approx 8571,428... \text{ seconden}$
     • Afgerond op hele seconden is dat 8571 seconden.