Hoe bereken ik de waarden van a, b en c na het herleiden van een formule?

Om de waarden van $a$, $b$ en $c$ te berekenen na het herleiden van een formule van de vorm $h = X + Y\sqrt{d^2 + Z}$ naar $d = \sqrt{a \cdot h^2 + b \cdot h + c}$, volg je een reeks algebraïsche stappen. Het doel is om $d^2$ aan één kant van de vergelijking te isoleren en vervolgens de coëfficiënten van $h^2$, $h$ en de constante term te vergelijken met $a$, $b$ en $c$.

Hier zijn de algemene stappen:

1. Isoleer de wortelterm: Zorg ervoor dat de term met de vierkantswortel alleen aan één kant van de vergelijking staat.
2. Kwadrateer beide zijden: Verhef beide kanten van de vergelijking tot de macht 2 om de wortel op te heffen.
3. Herleid de vergelijking: Werk de haakjes uit en herschik de termen zodat $d^2$ alleen staat en de andere termen in de vorm $a \cdot h^2 + b \cdot h + c$ verschijnen.
4. Identificeer $a$, $b$ en $c$: Vergelijk de herleide vergelijking met de gewenste vorm $d^2 = a \cdot h^2 + b \cdot h + c$ om de waarden van $a$, $b$ en $c$ te bepalen.

Voorbeeld: Laten we de formule $h = 10 + 5\sqrt{d^2 + 25}$ herleiden naar de vorm $d = \sqrt{a \cdot h^2 + b \cdot h + c}$.

1. Isoleer de wortelterm: Begin met de gegeven formule: $h = 10 + 5\sqrt{d^2 + 25}$ Haal de 10 naar de andere kant: $h - 10 = 5\sqrt{d^2 + 25}$ Deel door 5 om de wortelterm verder te isoleren: $\frac{h - 10}{5} = \sqrt{d^2 + 25}$

2. Kwadrateer beide zijden: Verhef beide kanten tot de macht 2: $\left(\frac{h - 10}{5}\right)^2 = \left(\sqrt{d^2 + 25}\right)^2$ $\frac{(h - 10)^2}{5^2} = d^2 + 25$ $\frac{h^2 - 20h + 100}{25} = d^2 + 25$

3. Herleid de vergelijking: Splits de breuk aan de linkerkant: $\frac{h^2}{25} - \frac{20h}{25} + \frac{100}{25} = d^2 + 25$ Vereenvoudig de breuken: $0.04h^2 - 0.8h + 4 = d^2 + 25$ Haal de 25 naar de linkerkant om $d^2$ te isoleren: $0.04h^2 - 0.8h + 4 - 25 = d^2$ $d^2 = 0.04h^2 - 0.8h - 21$

4. Identificeer $a$, $b$ en $c$: Vergelijk de herleide vergelijking $d^2 = 0.04h^2 - 0.8h - 21$ met de gewenste vorm $d^2 = a \cdot h^2 + b \cdot h + c$:

   • De coëfficiënt van $h^2$ is $a$, dus $a = 0.04$.
   • De coëfficiënt van $h$ is $b$, dus $b = -0.8$.
   • De constante term is $c$, dus $c = -21$.

De waarden zijn dus $a = 0.04$, $b = -0.8$ en $c = -21$.