Gegeven zijn de functies f(x) = - \large{\frac{1}{4}} x^{2} + 2x -5 en g(x) = -x + 3
Teken de grafiek van f(x) en g(x) in één figuur.
Leerdoelen
•Je kunt het verschil uitleggen tussen een formule en een functie
•Je kunt allerlei toepassingen bij kwadratische functie gebruiken
Van formule naar functie
In dit artikel bespreken we de overgang van een formule naar een functie. Kijkend naar een formule zoals y = -3x² + 6x, kunnen we eenvoudig de waarde van I berekenen voor een gegeven x-waarde. Bijvoorbeeld, als we x = 5 invullen in de formule, dan krijgen we y = -45.
Nu veranderen we de formule naar een functie, we noemen deze functie f(x) en deze ziet er zo uit: f(x) = -3x² + 6x. In de context van een functie betekent f(x) in feite hetzelfde als y. We schrijven nu f(x) in plaats van y omdat de f, de naam van de formule is, en x is de variabele waar de functie in wordt uitgedrukt.
Het gebruik van functies
Als we een functie hebben zoals f(x) = -3x² + 6x, is de berekening vergelijkbaar met de formule. Als we de functiewaarde willen weten voor x = 5, vullen we 5 in op de plaats van x in de functie, en krijgen we opnieuw -45.
Functies en grafieken
Een van de toepassingen van een functie is om te controleren of een punt op de grafiek van de functie ligt. Bijvoorbeeld, als we een punt A hebben met x-coördinaat -2 en I-coördinaat -24, dan betekent het dat dit punt op de grafiek van de functie ligt als de functiewaarde bij x = -2 gelijk is aan -24. Als we dit controleren met de functie f(x), zien we inderdaad dat dit het geval is.
Kenmerken van kwadratische functies
Een kwadratische functie heeft de algemene vorm f(x) = Ax² + Bx + C, waarbij A niet gelijk is aan 0. Als A wel gelijk zou zijn aan 0, dan zou de term Ax² vervallen en zou de functie geen kwadratische functie meer zijn, maar een lineaire functie.
Het verschil tussen A > 0 en A < 0
Er is een onderscheid tussen het geval dat A groter is dan 0 en het geval dat A kleiner is dan 0. Als A groter is dan 0, hebben we te maken met een dalparabool. Is A kleiner dan 0, dan hebben we te maken met een bergparabool.
Grafiek van een kwadratische functie
Om een grafiek van een kwadratische functie te tekenen, maken we eerst een tabel met waarden voor x en de bijbehorende f(x)-waarden. Bijvoorbeeld, voor de functie f(x) = -3x² + 6x, gebruiken we x-waarden van -3 tot 3 en berekenen we de overeenkomstige f(x) waarden.
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
f(x) | -45 | -24 | -9 | 0 | 3 | 0 | -9 |
Een opvallend detail is dat sommige waarden van f(x) voor verschillende x-waarden hetzelfde zijn. Dit toont aan dat er een soort symmetrie is in onze functie. Hiervoor kunnen we de tabel uitbreiden.
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
f(x) | -45 | -24 | -9 | 0 | 3 | 0 | -9 | -24 | -45 |
Na het opvullen van de gehele tabel is er een symmetrie te herkennen rond het punt x = 1. Dit kan ook weergegeven worden in de grafiek.
Twee functies in één grafiek
Soms wil je misschien twee verschillende functies in dezelfde grafiek tekenen. Stel dat je f(x)=0,5x^2-2x+4f(x)=0,5x-2x+4f(x)=0,5x^-2x+4 (een kwadratische functie, of parabool) en (een lineaire functie, of rechte lijn) hebt. Door beide functies in dezelfde grafiek te tekenen, kun je visueel zien waar ze elkaar snijden (dat zijn de oplossingen voor de vergelijking f(x) = g(x)).
Om deze twee functies in een grafiek weer te geven, is het handig om eerst een tabel met de x- en y-waarden van deze functies te maken.
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
f(x) | 14,5 | 10 | 6,5 | 4 | 2,5 | 2 | 2,5 | 4 | 6,5 | 10 |
g(x) | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 5 |
In bovenstaande tabel is al te zien dat de functies f(x) en g(x) elkaar snijden bij x = 1 en x = 4, omdat de y-waarden bij deze x-waarden gelijk aan elkaar zijn.
Tot slot kunnen deze twee functies ook in één grafiek geplot worden door de x- en y-waarden per grafiek te tekenen.
