De top van de grafiek van f(x) = ax^2 + bx + c

Leerdoelen

•Je kunt de coördinaten van de top van de functie f(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax^2+bx+f(x)=ax^2+bx+xf(x)=ax^2+bx+f(x)=ax^2+bxf(x)=ax^2+bf(x)=ax^2+f(x)=ax^2f(x)=axf(x)=af(x)=berekenen.

De top van de grafiek van f(x) = ax² + bx + c

De formule f(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax+bx+cf(x)=ax^+bx+c staat bekend als de algemene vorm van een kwadratische functie waarbij de grafiek ook wel een parabool genoemd. In deze formule staan a, b en c voor de coëfficiënten en x is de variabele. Bij functies die deze vorm hebben wordt vaak gevraagd om de coördinaten van de top van de grafiek te berekenen.

Wat is de top van een grafiek?

Eerst en vooral, wat bedoelen we eigenlijk met de top van de grafiek? In het geval van een parabool, zoals de functief(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax+bx+cf(x)=ax^+bx+c, verwijst de top naar het hoogste of laagste punt op de grafiek. De top is het punt dat precies in het midden van twee willekeurige punten op de grafiek die op dezelfde hoogte liggen. Dit komt doordat een parabool symmetrisch is.

Hoe bereken je de coördinaten van de top?

Laten we eens kijken naar een voorbeeld: stel dat we de functie f(x)=x^2+4x-1f(x)=x^2+4x-f(x)=x^2+4x-6f(x)=x+4x-6f(x)=x^+4x-6 hebben. Als we deze functie ontbinden, kunnen we de nulpunten bepalen, de punten waar f(x) = 0, oftewel de snijpunten met de x-as.

•De x-coördinaat van de top is het gemiddelde van deze twee nulpunten. Dus we tellen de twee nulpunten op en delen dit getal door 2: x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + nulpunt 2}}{2}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + nulpunt 2}}{\text{l}2}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + nulpunt 2}}{\text{l}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + nulpunt 2}}{\text{lp}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + nulpunt }}{\text{lp}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + nulpunt}}{\text{lp}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + nulpun}}{\text{lp}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + nulpu}}{\text{lp}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + nulp}}{\text{lp}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + nul}}{\text{lp}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + nu}}{\text{lp}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + n}}{\text{lp}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + n}}{\text{lp}}\text{n}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + n}}{\text{lp}}\text{n}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + n}}{\text{lp}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + n}}{\text{lp}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + n}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + n}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 + }}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 +}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1 }}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1+}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1+}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1+}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt 1}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt }}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpunt}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpun}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulpu}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nulp}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nul}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{nu}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\text{n}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\cap}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\nu}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{n}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}x_{top^{^{}}}=x_{top^{^{}}}x_{top^{^{\placeholder{}}}}x_{top^{\placeholder{}^{\placeholder{}}}}x_{top^{\placeholder{}^{\placeholder{}}}}x_{top^{\placeholder{}^{\placeholder{}}}}x_{top^{\placeholder{}^{\placeholder{}}}}x_{top^{\placeholder{}}}x_{top}x_{to}x_{t}x_{\placeholder{}}x

•Om de y-coördinaat van de top, ook bekend als de y-top, te berekenen, vullen we de gevonden x-top in de functie van f: y_{top}=f\left(x_{top}\right)y_{top}=f\left(x_{top}\right)y_{top}=f\left(x_{to}\right)y_{top}=f\left(x_{t}\right)y_{top}=f\left(x_{\placeholder{}}\right)y_{top}=f\left(x\right)y_{top}=f\left(\right)y_{top}=fy_{top}=f)y_{top}=fy_{top}=y_{top}y_{to}y_{t}y_{\placeholder{}}y

De x-top van de functie f en g

Nu, stel dat het moeilijk is om de nulpunten van de functie f te bepalen, zoals in het geval van f(x)=x^2+4x-6f(x)=x+4x-6f(x)=x^+4x-6f(x)=x^{}+4x-6. We kunnen dan een aanpassing doen aan de functie f door de grafiek omhoog of omlaag te schuiven. We kunnen bijvoorbeeld de functie f(x) 6 eenheden omhoog schuiven om een nieuwe functie g(x) te krijgen:

g(x)=x^{2}+4x

Hoewel de y-top verandert, blijft de x-top hetzelfde. Dus we kunnen de functie g gebruiken om de x-top van f(x) te berekenen. Nu kunnen de nulpunten van de hulpfunctie g(x) eenvoudig berekend worden:

•x^2+4x=0x+4x=0x^+4x=0

•

•

•

De x-top ligt in het midden van deze nulpunten, omdat een parabool symmetrisch is. De x-top kan dus berekend worden:

•x_{top}=\frac{-4 + 0}{2}=\frac{-4}{2}=-2x_{to}=\frac{-4 + 0}{2}=\frac{-4}{2}=-2x_{t}=\frac{-4 + 0}{2}=\frac{-4}{2}=-2x_{tp}=\frac{-4 + 0}{2}=\frac{-4}{2}=-2x_{tpp}=\frac{-4 + 0}{2}=\frac{-4}{2}=-2x_{tp}=\frac{-4 + 0}{2}=\frac{-4}{2}=-2x_{t}=\frac{-4 + 0}{2}=\frac{-4}{2}=-2x=\frac{-4 + 0}{2}=\frac{-4}{2}=-2=\frac{-4 + 0}{2}=\frac{-4}{2}=-2x=\frac{-4 + 0}{2}=\frac{-4}{2}=-2xt=\frac{-4 + 0}{2}=\frac{-4}{2}=-2xto=\frac{-4 + 0}{2}=\frac{-4}{2}=-2

De y-top kan berekend worden door de waarde van de x-top in te vullen in f(x):

•f(x)=x^2+4x-6f(x)=x^{}+4x-6f(x)=x^{^{}}+4x-6f(x)=x^{^2}+4x-6f(x)=x^{}+4x-6, invullen -2;

•\left(-2^2\right)+4\cdot-2-6=-10\left(-2^2+4\cdot-2-6=-10\right)-2^2+4\cdot-2-6=-10-2+4\cdot-2-6=-10-2^+4\cdot-2-6=-10-2^{}+4\cdot-2-6=-10

Dus de top van de grafiek heeft de volgende coördinaten: (-2, -10)

Formule voor de x-top

Het kan vervelend zijn om elke keer de nulpunten te moeten berekenen om de x-top te vinden. Gelukkig is er een snellere manier: we kunnen een formule gebruiken, op basis van de standaard formule van de grafiek f(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax^{}+bx+cf(x)=ax^{^{}}+bx+cf(x)=ax^{^2}+bx+cf(x)=ax^{}+bx+c.

De formule voor de x-top is:\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}\large\frac{-b}{2a}.

Hierbij is b de coëfficiënt van de x-term en a de coëfficiënt van de x²-term in de kwadratische functie.

We kunnen dit in een voorbeeld zien. Stel dat we de top willen berekenen van de grafiek van f(x)=\frac{1}{3}x^{2} -6x+2.

•

•

•in de formule\frac{-b}{2a}om de x-top te vinden

•\frac{6}{2\cdot\frac{1}{3}}=9

Nu vullen we x-top in de formule van f(x) in:

•

•

•Dus coördinaten van de top zijn (9, -25)

Stappenplan

Om de top van een parabool te vinden:

1.Bereken de x-top met behulp van de formule, waarbij a de coëfficiënt van de x²-term is en b de coëfficiënt van de x-term.

2.Bereken de y-top door de gevonden x-top in de functie in te vullen.

Met deze stappen kun je de top van elke parabool berekenen, ongeacht hoe complex de vergelijking lijkt te zijn.