Herleid: 2(a+b)
Leerdoelen
•Je kunt haakjes wegwerken in wiskundige uitdrukkingen met letters.
•Je kunt gelijksoortige termen herkennen en samenvoegen om een uitdrukking te herleiden.
•Je kunt de correcte rekenvolgorde toepassen bij het wegwerken van haakjes en het herleiden van uitdrukkingen.
Wat betekent haakjes wegwerken?
Haakjes wegwerken is een wiskundige bewerking waarbij je een getal of letter vermenigvuldigt met elk deel binnen de haakjes, zodat de haakjes verdwijnen.
Voorbeeld met alleen getallen: bereken2(3+4). Er zijn twee manieren om dit te berekenen:
1.Eerst binnen de haakjes werken: Bereken eerst . Daarna vermenigvuldig je: 2\cdot7=1427=14. Dit is de snelste methode bij berekeningen met alleen getallen.
2.De distributieve eigenschap toepassen: Vermenigvuldig het getal voor de haakjes met elk getal binnen de haakjes. Je vermenigvuldigt 2 met 3 en 2 met 4. Dat geeft (2\cdot3)+(2\cdot4)=6+8=14(2\cdot3)+(24)=6+8=14(2\cdot3)+(2\times4)=6+8=14(2\cdot)+(2\times4)=6+8=14(2)+(2\times4)=6+8=14(2\times)+(2\times4)=6+8=14.
Bij het werken met letters is het vaak niet mogelijk om de getallen binnen de haakjes eerst op te tellen. Daarom is de tweede methode, de distributieve eigenschap, essentieel voor letterrekenen.
Hoe werk je haakjes weg als er letters in staan?
Letters (variabelen) zijn symbolen, zoals a, b, xz of y, die een onbekende waarde voorstellen. Termen zijn delen van een wiskundige uitdrukking die door een plus- of minteken worden gescheiden. Bijvoorbeeld, in de uitdrukking 2a+3b2a+32a+3B2+3B, zijn 2a2 en 3b3 termen. Als in de haakjes termen staan die niet gelijksoortig zijn, kun je ze niet samenvoegen. Gelijksoortige termen zijn termen die precies dezelfde letters met dezelfde machten hebben. Bijvoorbeeld, a en b zijn niet gelijksoortig (denk aan appels en bananen). Je kunt a en b niet optellen tot een kortere uitdrukking; a+ba+a+B+B blijft gewoon a+ba+a+B+B.
Distributieve eigenschap toepassen met letters en getallen
Als je 2(a+b)2(a+)2(a+B)2(+B)2(A+B) moet berekenen, kun je a en b niet bij elkaar optellen. Pas daarom de distributieve eigenschap toe: Vermenigvuldig het getal voor de haakjes met elke term binnen de haakjes: 2\cdot a+2\cdot b=2a+2b2\cdot a+2\cdot b=2a+22\cdot a+2\cdot b=2a+2B2\cdot a+2\cdot b=2+2B2\cdot a+2\cdot b=2A+2B2\cdot a+2\cdot=2A+2B2\cdot a+2\cdot B=2A+2B2\cdot a+2B=2A+2B2\cdot a+2\times B=2A+2B2\cdot+2\times B=2A+2B2\cdot A+2\times B=2A+2B2A+2\times B=2A+2B Dit is de meest vereenvoudigde vorm. De termen 2a2 en 2b2zijn niet gelijksoortig en kunnen niet verder worden samengevoegd.
Distributieve eigenschap toepassen met alleen letters
Ook als er een letter voor de haakjes staat, pas je de distributieve eigenschap toe. Voorbeeld: a(b+c)a(b+)a(b+v)a(b+)a(b+b)a(b+)a(b+C)a(b+Cb)a(b+C)a(+C)a(B+C)(B+C)A(B+C) Vermenigvuldig a met ben a metc: a\cdot b+a\cdot c=ab+aca\cdot b+a\cdot c=ab+aa\cdot b+a\cdot c=ab+a\cdot b+a\cdot c=ab+Aa\cdot b+a\cdot c=ab+ACa\cdot b+a\cdot c=a+ACa\cdot b+a\cdot c=+ACa\cdot b+a\cdot c=A+ACa\cdot b+a\cdot c=AB+ACa\cdot b+a\cdot=AB+ACa\cdot b+a\cdot C=AB+ACa\cdot b+aC=AB+ACa\cdot b+a\times C=AB+ACa\cdot b+\times C=AB+ACa\cdot b+A\times C=AB+ACa\cdot+A\times C=AB+ACa\cdot B+A\times C=AB+ACaB+A\times C=AB+ACa\times B+A\times C=AB+AC\times B+A\times C=AB+AC Het is gebruikelijk om letters in een product (zoals abaA) in alfabetische volgorde te schrijven. abaavaAis dus de standaard, niet babB. Ook acaAis de standaard, niet cacC.
Mintekens bij haakjes wegwerken
Let goed op de mintekens. Het is belangrijk om het minnetje mee te nemen in de vermenigvuldiging. Dit betekent dat als een minteken voor een getal of letter staat, je dit minteken meerekent bij het vermenigvuldigen. Voorbeeld: 5\cdot(3a-2b)5\cdot(3a-2)5\cdot(3a-2B)5\cdot(3-2B)5\cdot(3A-2B)5(3A-2B)5*(3A-2B)5(3A-2B)5(3A-2B)5(3A-2B)5\times(3A-2B)5\times(3A-2B) 5\cdot3a=15a5\cdot3a=155\cdot3a=15A5\cdot3=15A5\cdot3A=15A53A=15A 5\cdot-2b=-10b5\cdot-2b=-105\cdot-2b=-10B5\cdot-2=-10B5\cdot-2B=-10B5-2B=-10B Dus: 15a-10b15a-1015a-10B15-10B
Soms staat er alleen een minteken voor de haakjes, zonder een getal. Dit minteken staat dan eigenlijk voor min één. Voorbeeld:6-(a+2)6-(+2) Dit is hetzelfde als 6-1\cdot(a+2)6-1\cdot(+2)6-1\cdot(A+2)6-1(A+2). Vermenigvuldig -1 met elke term binnen de haakjes: 6+(-1\cdot a)+(-1\cdot2)6+(-1\cdot a)+(-12)6+(-1\cdot a)+(-1\times2)6+(-1\cdot)+(-1\times2)6+(-1)+(-1\times2)6+(-1\times)+(-1\times2)6+(-1\times a)+(-1\times2)6+(-1\times)+(-1\times2)6+(-1\times A)+(-1\times2)6+(-1\times)+(-1\times2) =6-a-2=6--2 Nu kun je gelijksoortige termen samenvoegen. 6 en -2 zijn gelijksoortige termen, omdat het beide losse getallen (constanten) zijn. De term -a- is niet gelijksoortig met de getallen. 6-2-a=4-a6-2-a=4-6-2-a=4-A6-2-a=-A6-2-a=5-A6-2-a=-A6-2-a=4-A6-2-=4-A
Hoe herleid je de uitdrukking na het wegwerken van de haakjes?
Herleiden is het vereenvoudigen van een wiskundige uitdrukking door eerst haakjes weg te werken en vervolgens gelijksoortige termen samen te voegen.
Voorbeeld 1:
6-(a+2)6-(+2)
1.Haakjes wegwerken: Een minteken voor de haakjes betekent vermenigvuldigen met -1. 6-1\cdot a-1\cdot26-1\cdot a-126-1\cdot a-1\times26-1\cdot-1\times26-1\cdot A-1\times26-1A-1\times2 =6-a-2=6--2
2.Gelijksoortige termen samenvoegen: Identificeer de gelijksoortige termen en tel of trek ze van elkaar af. De termen 6 en -2 zijn beide constante getallen en dus gelijksoortig. De term -a- heeft een letter en is niet gelijksoortig met de getallen.
Voeg de gelijksoortige termen samen: . De term -a- blijft staan. Het resultaat is 4-a4-. Dit kan niet korter.
Voorbeeld 2:
4x-\frac12x\cdot(2-y)-y\cdot(2x-8)4x-\frac12x\cdot(2-y)-y\cdot(2-8)4x-\frac12x\cdot(2-y)-y\cdot(2X-8)4x-\frac12x\cdot(2-y)-y(2X-8)4x-\frac12x\cdot(2-y)-y\times(2X-8)4x-\frac12x\cdot(2-y)-\times(2X-8)4x-\frac12x\cdot(2-y)-Y\times(2X-8)4x-\frac12x\cdot(2-)-Y\times(2X-8)4x-\frac12x\cdot(2-Y)-Y\times(2X-8)4x-\frac12x\cdot(2Y)-Y\times(2X-8)4x-\frac12x\cdot(2-Y)-Y\times(2X-8)4x-\frac{1}{\placeholder{}}x\cdot(2-Y)-Y\times(2X-8)4x-1x\cdot(2-Y)-Y\times(2X-8)4x-x\cdot(2-Y)-Y\times(2X-8)4x-2x\cdot(2-Y)-Y\times(2X-8)4x-x\cdot(2-Y)-Y\times(2X-8)4x-0x\cdot(2-Y)-Y\times(2X-8)4x-05x\cdot(2-Y)-Y\times(2X-8)4x-0{,}5x\cdot(2-Y)-Y\times(2X-8)4-0{,}5x\cdot(2-Y)-Y\times(2X-8)4X-0{,}5x\cdot(2-Y)-Y\times(2X-8)4X-05x\cdot(2-Y)-Y\times(2X-8)4X-0.5x\cdot(2-Y)-Y\times(2X-8)4X-0.5x(2-Y)-Y\times(2X-8)4X-0.5x\times(2-Y)-Y\times(2X-8)4X-0.5\times(2-Y)-Y\times(2X-8)
1.Haakjes wegwerken: Vermenigvuldig de termen voor de haakjes met elke term binnen de haakjes. Let hierbij goed op de mintekens.
1.Voor het eerste paar haakjes: -\frac12x\cdot2-\frac12x2-\frac12x\times2-\frac12\times2-\frac12X\times2-\frac{1}{\placeholder{}}X\times2-1X\times2-X\times2-0X\times2-0.X\times2 en -\frac12x\cdot-y-\frac12x\cdot-y.-\frac12x\cdot-.-\frac12x\cdot-Y.-\frac12x-Y.-\frac12x\times-Y.-\frac12\times-Y.-\frac12X\times-Y.-\frac{1}{\placeholder{}}X\times-Y.-1X\times-Y.-X\times-Y.-0X\times-Y.-0.X\times-Y. -\frac12x\cdot2=-1x=-x-\frac12x\cdot2=-1x=--\frac12x\cdot2=-1x=-\frac12x\cdot2=-1x=X-\frac12x\cdot2=-1x=-X-\frac12x\cdot2=-1=-X-\frac12x\cdot2=-1X=-X-\frac12x2=-1X=-X-\frac12x\times2=-1X=-X-\frac12\times2=-1X=-X-\frac12X\times2=-1X=-X-\frac{1}{\placeholder{}}X\times2=-1X=-X-1X\times2=-1X=-X-X\times2=-1X=-X-0X\times2=-1X=-X-0.X\times2=-1X=-X (de '1' schrijven we vaak niet op) -\frac12x\cdot-y=+\frac12xy-\frac12x\cdot-y=+\frac12x-\frac12x\cdot-y=+\frac12-\frac12x\cdot-y=+\frac12X-\frac12x\cdot-y=+\frac12XY-\frac12x\cdot-y=+\frac{1}{\placeholder{}}XY-\frac12x\cdot-y=+1XY-\frac12x\cdot-y=+XY-\frac12x\cdot-y=+0XY-\frac12x\cdot-y=+05XY-\frac12x\cdot-y=+0.5XY-\frac12x\cdot-=+0.5XY-\frac12x\cdot-Y=+0.5XY-\frac12x-Y=+0.5XY-\frac12x\times-Y=+0.5XY-\frac12\times-Y=+0.5XY-\frac12X\times-Y=+0.5XY-\frac{1}{\placeholder{}}X\times-Y=+0.5XY-1X\times-Y=+0.5XY-X\times-Y=+0.5XY-0X\times-Y=+0.5XY-0.X\times-Y=+0.5XY (negatief × negatief = positief, letters in alfabetische volgorde)
2.Voor het tweede paar haakjes:-y\cdot2x-y\cdot2-y\cdot2X-y2X-y\times2X-\times2X en -y\cdot-8-y\cdot--y\cdot-y-y\times-y\times--y\times-8-\times-8. -y\cdot2x=-2xy-y\cdot2x=-2xyY-y\cdot2x=-2xY-y\cdot2x=-2Y-y\cdot2x=-2XY-y\cdot2=-2XY-y\cdot2X=-2XY-y2X=-2XY-y\times2X=-2XY-\times2X=-2XY (letters in alfabetische volgorde) -y\cdot-8=+8y-y\cdot-8=+8-y\cdot-8=+8Y-y-8=+8Y-y\times-8=+8Y-\times-8=+8Y (negatief × negatief = positief) De uitdrukking wordt nu: 4x-x+\frac12xy-2xy+8y4x-x+\frac12xy-2xy+84x-x+\frac12xy-2xy+8Y4x-x+\frac12xy-2x+8Y4x-x+\frac12xy-2xY+8Y4x-x+\frac12xy-2Y+8Y4x-x+\frac12xy-2XY+8Y4x-x+\frac12x-2XY+8Y4x-x+\frac12-2XY+8Y4x-x+\frac12X-2XY+8Y4x-x+\frac12XY-2XY+8Y4x-x+\frac{1}{\placeholder{}}XY-2XY+8Y4x-x+1XY-2XY+8Y4x-x+XY-2XY+8Y4x-x+0XY-2XY+8Y4x-x+01XY-2XY+8Y4x-x+0XY-2XY+8Y4x-x+0.XY-2XY+8Y4x-x+0.5XY-2XY+8Y4x-+0.5XY-2XY+8Y4x-X+0.5XY-2XY+8Y4-X+0.5XY-2XY+8Y
2.Gelijksoortige termen samenvoegen:
1.Termen metx:4x-x=3xx:4x-x=3x:4x-x=3Xx:4x-=3Xx:4x-X=3Xx:4-X=3Xx:4X-X=3X:4X-X=3XX:4X-X=3XX4X-X=3X
2.Termen met xy:+\frac12xy-2xy=-1\frac12xyxy:+\frac12xy-2xy=-1\frac12xxy:+\frac12xy-2xy=-1\frac12xy:+\frac12xy-2xy=-1\frac12Xxy:+\frac12xy-2xy=-1\frac12XYxy:+\frac12xy-2xy=-\frac12XYxy:+\frac12xy-2xy=-\frac{11}{2}XYxy:+\frac12xy-2xy=-\frac{11}{\placeholder{}}XYxy:+\frac12xy-2xy=-11XYxy:+\frac12xy-2xy=-1XYxy:+\frac12xy-2xy=-1.XYxy:+\frac12xy-2xy=-1.5XYxy:+\frac12xy-2x=-1.5XYxy:+\frac12xy-2=-1.5XYxy:+\frac12xy-2Y=-1.5XYxy:+\frac12xy-2xY=-1.5XYxy:+\frac12xy-2Y=-1.5XYxy:+\frac12xy-2XY=-1.5XYxy:+\frac12x-2XY=-1.5XYxy:+\frac12-2XY=-1.5XYxy:+\frac12X-2XY=-1.5XYxy:+\frac12XY-2XY=-1.5XYxy:+\frac{1}{\placeholder{}}XY-2XY=-1.5XYxy:+1XY-2XY=-1.5XYxy:+XY-2XY=-1.5XYxy:+0XY-2XY=-1.5XYxy:+0.XY-2XY=-1.5XYxy:+0.5XY-2XY=-1.5XYx:+0.5XY-2XY=-1.5XY:+0.5XY-2XY=-1.5XYX:+0.5XY-2XY=-1.5XY
3.Termen met y:+8yy:+8y:+8Y:+8Y (deze heeft geen gelijksoortige termen om mee samen te voegen) Het volledig herleide antwoord is: 3x-1{,}3x-1{,}3x-1{,}5xy+8Y3x-15xy+8Y3x-1.5xy+8Y3x-1.5x+8Y3x-1.5+8Y3x-1.5X+8Y3x-1.5XY+8Y3-1.5XY+8Y.
Voorbeeld 3:
-3\cdot(2a-4b)-2\cdot\left(5a+6b\right)-3\cdot(2a-4b)-2\cdot\left(5a+6\right)-3\cdot(2a-4b)-2\cdot\left(5a+6B\right)-3\cdot(2a-4b)-2\cdot\left(5+6B\right)-3\cdot(2a-4b)-2\cdot\left(5A+6B\right)-3\cdot(2a-4b)-2\cdot5A+6B)-3\cdot(2a-4b)-25A+6B)-3\cdot(2a-4b)-2\times5A+6B)-3\cdot(2a-4b)-2\times(5A+6B)-3\cdot(2a-4)-2\times(5A+6B)-3\cdot(2a-4B)-2\times(5A+6B)-3\cdot(2-4B)-2\times(5A+6B)-3\cdot(2A-4B)-2\times(5A+6B)-3(2A-4B)-2\times(5A+6B)
1.Haakjes wegwerken:
1.Eerste deel: -3\cdot2a=-6a-3\cdot2a=-6-3\cdot2a=-6A-3\cdot2=-6A-3\cdot2A=-6A-32A=-6A -3\cdot-4b=+12b-3\cdot-4b=+12-3\cdot-4b=+12a-3\cdot-4b=+12-3\cdot-4b=+12B-3\cdot-4=+12B-3\cdot-4B=+12B-3-4B=+12B
2.Tweede deel: -2\cdot5a=-10a-2\cdot5a=-10-2\cdot5a=-10A-2\cdot5=-10A-2\cdot5A=-10A-25A=-10A -2\cdot6b=-12b-2\cdot6b=-12-2\cdot6b=-12B-26b=-12B-2\times6b=-12B-2\times6=-12B De uitdrukking wordt nu: -6a+12b-10a-12b-6a+12b-10a-12-6a+12b-10a-12B-6a+12b-10-12B-6a+12b-10A-12B-6a+12-10A-12B-6a+12B-10A-12B-6+12B-10A-12B
2.Gelijksoortige termen samenvoegen:
1.Termen met a:-6a-10a=-16aa:-6a-10a=-16a:-6a-10a=-16Aa:-6a-10=-16Aa:-6a-10A=-16Aa:-6-10A=-16Aa:-6A-10A=-16A:-6A-10A=-16A
2.Termen metb:+12b-12b=0b=0b:+12b-12b=0=0b:+12b-12b=0B=0b:+12b-12=0B=0b:+12b-12B=0B=0b:+12-12B=0B=0b:+12B-12B=0B=0:+12B-12B=0B=0 (nul keer een letter is nul) Het volledig herleide antwoord is: -16a-16.
