Hoe vereenvoudig je een algebraïsche formule?

Het vereenvoudigen of herleiden van algebraïsche uitdrukkingen en formules houdt in dat je gelijksoortige termen combineert om de uitdrukking korter en overzichtelijker te maken. Gelijksoortige termen zijn termen die dezelfde variabele(n) met dezelfde exponent(en) hebben. Constante getallen (termen zonder variabele) zijn ook gelijksoortige termen. Soms moet je ook haakjes wegwerken of regels voor machten toepassen.

Voorbeeld 1: 12a - 3a = b

In de formule 12a - 3a = b zijn 12a en 3a gelijksoortige termen, omdat ze beide de variabele a hebben.

Om deze formule te vereenvoudigen, tel je de coëfficiënten (de getallen voor de variabelen) van de gelijksoortige termen bij elkaar op:

1. Combineer de a-termen: 12a - 3a = (12 - 3)a = 9a.

De vereenvoudigde formule is dan: 9a = b.

Voorbeeld 2: 3x - y + 5y - 4x

In de uitdrukking 3x - y + 5y - 4x zijn:

• 3x en -4x gelijksoortige termen, omdat ze beide de variabele x hebben.
• -y en +5y zijn ook gelijksoortige termen, omdat ze beide de variabele y hebben.

Om de uitdrukking te herleiden, tel je de coëfficiënten van de gelijksoortige termen bij elkaar op:

1. Combineer de x-termen: 3x - 4x = (3 - 4)x = -1x, wat meestal wordt geschreven als -x.
2. Combineer de y-termen: -y + 5y = (-1 + 5)y = 4y.

De herleide uitdrukking is dan de som van deze gecombineerde termen: -x + 4y.

Voorbeeld 3: (x + 2)^2 - (x - 3)(x + 1)

Soms zijn uitdrukkingen complexer en moet je eerst haakjes wegwerken voordat je gelijksoortige termen kunt combineren. Laten we de formule (x + 2)^2 - (x - 3)(x + 1) stap voor stap uitwerken:

Stap 1: Werk het eerste deel uit: (x + 2)^2 Dit betekent (x + 2) * (x + 2). Je vermenigvuldigt elk deel met elkaar: (x + 2)^2 = x * x + x * 2 + 2 * x + 2 * 2 x^2 + 2x + 2x + 4 x^2 + 4x + 4

Stap 2: Werk het tweede deel uit: (x - 3)(x + 1) Ook hier vermenigvuldig je elk deel met elkaar (denk aan de 'FOIL'-methode: First, Outer, Inner, Last): (x - 3)(x + 1) = x * x + x * 1 - 3 * x - 3 * 1 x^2 + x - 3x - 3 x^2 - 2x - 3

Stap 3: Trek het tweede deel af van het eerste deel Nu zetten we de uitkomsten van Stap 1 en Stap 2 weer samen, maar let op de min! Die min geldt voor alles wat tussen de haakjes van het tweede deel staat. (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 2x - 3) x^2 + 4x + 4 - x^2 + 2x + 3 (De min voor x^2 maakt het -x^2, de min voor -2x maakt het +2x, en de min voor -3 maakt het +3).

Stap 4: Herleid de termen Nu gaan we de gelijksoortige termen bij elkaar optellen of aftrekken:

• De x^2-termen: x^2 - x^2 = 0
• De x-termen: 4x + 2x = 6x
• De losse getallen: 4 + 3 = 7

Als je dit allemaal combineert, krijg je: 6x + 7

Voorbeeld 4: Vereenvoudigen met machten

Soms moet je formules vereenvoudigen waarbij machten een belangrijke rol spelen, bijvoorbeeld om een formule in de vorm $B = aq^b$ te krijgen. Hierbij gebruik je de regels voor machten:

• $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ (macht van een macht)
• $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ (vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal)
• $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ (delen van machten met hetzelfde grondtal)

Laten we de formule $B = \frac{0,18(13,5q^{0,8})^{2,5}}{q^{0,6}}$ vereenvoudigen naar de vorm $B = aq^b$.

Stap 1: Werk de macht in de teller uit Pas de regel $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ toe op $(q^{0,8})^{2,5}$ en vermenigvuldig de coëfficiënt $13,5$ met de macht $2,5$: $B = \frac{0,18 \cdot (13,5)^{2,5} \cdot (q^{0,8})^{2,5}}{q^{0,6}}$ $B = \frac{0,18 \cdot (13,5)^{2,5} \cdot q^{0,8 \cdot 2,5}}{q^{0,6}}$ $B = \frac{0,18 \cdot 670,76 \cdot q^{2}}{q^{0,6}}$ (afgerond: $13,5^{2,5} \approx 670,76$)

Stap 2: Vermenigvuldig de constante getallen in de teller $B = \frac{0,18 \cdot 670,76 \cdot q^{2}}{q^{0,6}}$ $B = \frac{120,7368 \cdot q^{2}}{q^{0,6}}$ (afgerond: $0,18 \cdot 670,76 \approx 120,7368$)

Stap 3: Vereenvoudig de machten van $q$ Pas de regel $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ toe op $\frac{q^2}{q^{0,6}}$: $B = 120,7368 \cdot q^{2 - 0,6}$ $B = 120,7368 \cdot q^{1,4}$

De vereenvoudigde formule is dan $B = 120,7368q^{1,4}$. Hierin is $a = 120,7368$ en $b = 1,4$.