Hoe werk je haakjes weg in een algebraïsche uitdrukking?

"Haakjes wegwerken" betekent dat je een uitdrukking met haakjes omzet naar een uitdrukking zonder haakjes door de termen met elkaar te vermenigvuldigen. Dit is een belangrijke stap bij het vereenvoudigen van algebraïsche uitdrukkingen.

Hoe werk je haakjes weg? Als je twee groepen haakjes met elkaar vermenigvuldigt, zoals $(a+b)(c+d)$, moet je elk onderdeel van de eerste groep haakjes vermenigvuldigen met elk onderdeel van de tweede groep haakjes. Dit wordt vaak de 'FOIL'-methode genoemd (First, Outer, Inner, Last), maar je kunt het ook zien als de distributieve eigenschap twee keer toepassen.

De stappen zijn:

1. Vermenigvuldig de eerste termen van elke groep haakjes.
2. Vermenigvuldig de buitenste termen van de twee groepen haakjes.
3. Vermenigvuldig de binnenste termen van de twee groepen haakjes.
4. Vermenigvuldig de laatste termen van elke groep haakjes.
5. Tel alle resultaten bij elkaar op.
6. Combineer daarna gelijksoortige termen om de uitdrukking verder te vereenvoudigen.

Voorbeeld: Werk de haakjes weg in $(x+3)(4-x)$ en laat zien dat dit $-x^2 + x + 12$ wordt.

We passen de stappen toe op $(x+3)(4-x)$:

1. Eerste termen: $x \cdot 4 = 4x$
2. Buitenste termen: $x \cdot (-x) = -x^2$
3. Binnenste termen: $3 \cdot 4 = 12$
4. Laatste termen: $3 \cdot (-x) = -3x$

Nu tellen we al deze resultaten bij elkaar op: $4x - x^2 + 12 - 3x$

De volgende stap is het combineren van gelijksoortige termen. Gelijksoortige termen zijn termen die dezelfde variabele(n) met dezelfde exponent(en) hebben.

In onze uitdrukking $4x - x^2 + 12 - 3x$ zijn de gelijksoortige termen:

• $4x$ en $-3x$ (beide hebben alleen $x$ tot de macht 1)
• $-x^2$ (deze heeft $x$ tot de macht 2, dus is niet gelijksoortig met $4x$ of $-3x$)
• $12$ (dit is een constante term)

Combineer de $x$-termen: $4x - 3x = (4-3)x = 1x = x$

Nu zetten we de termen in de standaardvolgorde (meestal de hoogste macht van de variabele eerst): $-x^2 + x + 12$

Hiermee hebben we laten zien dat $(x+3)(4-x)$ inderdaad gelijk is aan $-x^2 + x + 12$.