Hoe tel je algebraïsche breuken op?

Het optellen of aftrekken van algebraïsche breuken werkt op dezelfde manier als bij gewone breuken: je moet ze eerst gelijknamig maken. Dit betekent dat de noemers van de breuken hetzelfde moeten zijn.

Hier zijn de stappen:

1. Zoek de kleinste gemeenschappelijke noemer (KGN): Dit is het kleinste veelvoud van alle noemers. Als de noemers variabelen bevatten, zoals $2a$ en $5a$, zoek je de KGN van zowel de getallen als de variabelen. Voor $2a$ en $5a$ is de KGN bijvoorbeeld $10a$. Voor $x$ en $y$ is de KGN $xy$.

2. Maak de breuken gelijknamig: Vermenigvuldig de teller en de noemer van elke breuk met de factor die nodig is om de noemer gelijk te maken aan de KGN. Het is belangrijk dat je zowel de teller als de noemer met dezelfde factor vermenigvuldigt, zodat de waarde van de breuk niet verandert.

3. Tel de tellers op of trek ze af: Zodra de breuken gelijknamig zijn, kun je de tellers bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken. De noemer blijft hetzelfde.

4. Vereenvoudig de breuk (indien mogelijk): Controleer of de uiteindelijke breuk nog verder vereenvoudigd kan worden door de teller en noemer te delen door gemeenschappelijke factoren.

Voorbeeld 1: Optellen van algebraïsche breuken

Laten we de volgende opgave oplossen: $\frac{13}{2a} + \frac{9}{5a}$

• Stap 1: Zoek de KGN. De noemers zijn $2a$ en $5a$. De KGN van 2 en 5 is 10. De KGN van $a$ en $a$ is $a$. De kleinste gemeenschappelijke noemer is dus $10a$.

• Stap 2: Maak de breuken gelijknamig.

  • Voor de eerste breuk $\frac{13}{2a}$: Om de noemer $10a$ te maken, vermenigvuldigen we $2a$ met 5. We moeten dan ook de teller 13 met 5 vermenigvuldigen. $\frac{13 \times 5}{2a \times 5} = \frac{65}{10a}$
  • Voor de tweede breuk $\frac{9}{5a}$: Om de noemer $10a$ te maken, vermenigvuldigen we $5a$ met 2. We moeten dan ook de teller 9 met 2 vermenigvuldigen. $\frac{9 \times 2}{5a \times 2} = \frac{18}{10a}$

• Stap 3: Tel de tellers op. Nu hebben we: $\frac{65}{10a} + \frac{18}{10a}$ Tel de tellers bij elkaar op en behoud de noemer: $\frac{65 + 18}{10a} = \frac{83}{10a}$

• Stap 4: Vereenvoudig de breuk. De breuk $\frac{83}{10a}$ kan niet verder worden vereenvoudigd, omdat 83 een priemgetal is en geen gemeenschappelijke factoren heeft met $10a$.

De oplossing is $\frac{83}{10a}$.

Voorbeeld 2: Aftrekken van algebraïsche breuken

Laten we de volgende opgave oplossen: $\frac{3}{x} - \frac{4}{y}$

• Stap 1: Zoek de KGN. De noemers zijn $x$ en $y$. De kleinste gemeenschappelijke noemer is $xy$.

• Stap 2: Maak de breuken gelijknamig.

  • Voor de eerste breuk $\frac{3}{x}$: Om de noemer $xy$ te maken, vermenigvuldigen we $x$ met $y$. We moeten dan ook de teller 3 met $y$ vermenigvuldigen. $\frac{3 \times y}{x \times y} = \frac{3y}{xy}$
  • Voor de tweede breuk $\frac{4}{y}$: Om de noemer $xy$ te maken, vermenigvuldigen we $y$ met $x$. We moeten dan ook de teller 4 met $x$ vermenigvuldigen. $\frac{4 \times x}{y \times x} = \frac{4x}{xy}$

• Stap 3: Trek de tellers af. Nu hebben we: $\frac{3y}{xy} - \frac{4x}{xy}$ Trek de tellers van elkaar af en behoud de noemer: $\frac{3y - 4x}{xy}$

• Stap 4: Vereenvoudig de breuk. De breuk $\frac{3y - 4x}{xy}$ kan niet verder worden vereenvoudigd, omdat de teller en noemer geen gemeenschappelijke factoren hebben.

De oplossing is $\frac{3y - 4x}{xy}$.