Hoe trek je algebraïsche breuken van elkaar af?

Om algebraïsche breuken op te tellen of af te trekken, moet je ze eerst gelijknamig maken. Dit betekent dat de noemers van de breuken hetzelfde moeten zijn. Als de noemers variabelen bevatten, moet je de kleinste gemeenschappelijke noemer (KGD) vinden die alle variabelen en getallen in de noemers omvat.

Stappenplan voor het optellen en aftrekken van algebraïsche breuken:

1. Vind de kleinste gemeenschappelijke noemer (KGD): Bepaal de KGD van alle noemers. Dit is de kleinste uitdrukking waar alle oorspronkelijke noemers in passen.
2. Maak de breuken gelijknamig: Vermenigvuldig de teller en de noemer van elke breuk met de factor die nodig is om de noemer gelijk te maken aan de KGD. Zorg ervoor dat je zowel de teller als de noemer met dezelfde factor vermenigvuldigt om de waarde van de breuk niet te veranderen.
3. Tel de tellers op of trek ze af: Zodra de breuken gelijknamig zijn, tel je de tellers bij elkaar op of trek je ze van elkaar af. De noemer blijft hetzelfde.
4. Vereenvoudig de uitkomst: Vereenvoudig de resulterende breuk indien mogelijk door gemeenschappelijke factoren uit de teller en noemer te delen.

Voorbeelden:

1. Optellen van algebraïsche breuken: Stel je hebt de som: $\frac{13}{2a} + \frac{9}{5a}$

• Stap 1: Vind de KGD. De noemers zijn $2a$ en $5a$. De kleinste gemeenschappelijke noemer voor 2 en 5 is 10, en de variabele is $a$. Dus de KGD is $10a$.
• Stap 2: Maak de breuken gelijknamig.
  • Voor de eerste breuk $\frac{13}{2a}$: om de noemer $10a$ te maken, vermenigvuldig je $2a$ met 5. Je moet dan ook de teller 13 met 5 vermenigvuldigen: $\frac{13 \times 5}{2a \times 5} = \frac{65}{10a}$
  • Voor de tweede breuk $\frac{9}{5a}$: om de noemer $10a$ te maken, vermenigvuldig je $5a$ met 2. Je moet dan ook de teller 9 met 2 vermenigvuldigen: $\frac{9 \times 2}{5a \times 2} = \frac{18}{10a}$
• Stap 3: Tel de tellers op. Nu de breuken gelijknamig zijn, tel je de tellers op en behoud je de noemer: $\frac{65}{10a} + \frac{18}{10a} = \frac{65 + 18}{10a} = \frac{83}{10a}$
• Stap 4: Vereenvoudig de uitkomst. De breuk $\frac{83}{10a}$ kan niet verder worden vereenvoudigd, omdat 83 een priemgetal is en geen gemeenschappelijke factoren heeft met $10a$.

2. Aftrekken van algebraïsche breuken: Stel je hebt de som: $\frac{3}{x} - \frac{4}{y}$

• Stap 1: Vind de KGD. De noemers zijn $x$ en $y$. De kleinste gemeenschappelijke noemer is $xy$.
• Stap 2: Maak de breuken gelijknamig.
  • Voor de eerste breuk $\frac{3}{x}$: om de noemer $xy$ te maken, vermenigvuldig je $x$ met $y$. Je moet dan ook de teller 3 met $y$ vermenigvuldigen: $\frac{3 \times y}{x \times y} = \frac{3y}{xy}$
  • Voor de tweede breuk $\frac{4}{y}$: om de noemer $xy$ te maken, vermenigvuldig je $y$ met $x$. Je moet dan ook de teller 4 met $x$ vermenigvuldigen: $\frac{4 \times x}{y \times x} = \frac{4x}{xy}$
• Stap 3: Trek de tellers af. Nu de breuken gelijknamig zijn, trek je de tellers van elkaar af en behoud je de noemer: $\frac{3y}{xy} - \frac{4x}{xy} = \frac{3y - 4x}{xy}$
• Stap 4: Vereenvoudig de uitkomst. De breuk $\frac{3y - 4x}{xy}$ kan niet verder worden vereenvoudigd, omdat er geen gemeenschappelijke factoren zijn in de teller en noemer.