Machten met letters delen

Leerdoelen

Na deze les:

•Je kunt begrijpen wat machten, grondtal en exponent zijn.

•Je kunt machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigen, delen en een macht van een macht nemen.

•Je kunt machten met negatieve exponenten correct omzetten naar positieve exponenten.

•Je kunt machten met een exponent van 0 herkennen en toepassen.

•Je kunt voorbeeldopgaven stap voor stap oplossen.

Wat zijn machten?

Machten zijn getallen die worden gevormd door een basis (of grondtal) en een exponent. Bijvoorbeeld, in de uitdrukking x tot de zesde (x^6xx^x^{}), is '' de basis en '6' de exponent. Dit betekent dat 'x' zichzelf zes keer vermenigvuldigt, dus

Bij het delen van doorwordt de exponent van de noemer afgetrokken van de exponent van de teller. Het resultaat is, hetgeen betekent dattot de tweede macht wordt genomen.

\frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x} \cdot x \cdot x}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x}}=x^2\frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x} \cdot x \cdot x}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x}}=x\frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x} \cdot x \cdot x}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x}}=\frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x} \cdot x \cdot x}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x}}\frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x} \cdot x \cdot x}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x}}+\frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x} \cdot x \cdot x}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x}}\frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x} \cdot x \cdot x}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x}}\degree\frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x} \cdot x \cdot x}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x}}\frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x} \cdot x \cdot x}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot\cancel{x}}\degree \frac{\cancel{x} · \cancel{x} · \cancel{x} ·\cancel{x} · x · x}{\cancel{x} · \cancel{x} · \cancel{x} ·\cancel{x}}

Belangrijke termen: machten, grondtal en exponenten

Een 'macht' verwijst naar de hele uitdrukking, zoals x^6x^{}x^5x^{56}x^5xx{6} of x^4xx^. De 'grondtal' is de basis van de macht, in dit geval ''. De 'exponenten' zijn de 'vliegende getallen' die aangeven hoe vaak de basis met zichzelf wordt vermenigvuldigd.

Delen met machten: de basisregel

Bij het delen van machten die hetzelfde grondtal hebben, worden de exponenten van elkaar af getrokken. Dus a tot de macht p gedeeld door a tot de macht q is a tot de macht p min q, oftewel \frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}\large{\frac{a^{p}}{a^{q}}}

Machten met een negatieve exponent

Wanneer het delen van machten resulteert in een negatieve exponent, kan deze worden omgezet naar een positieve exponent door de macht naar de noemer van een breuk te verplaatsen. Zoals x tot de macht min 5 (x^{-5}x^{-5}{5}x^{-}{5}x{5}x^{5}x^^{5}). Dit kan worden omgezet naar een positieve exponent door het te verplaatsen naar de noemer van een breuk. Dus, x^{-5}x^{-}xx{}x^{}x{-}^{}x^{-}^{}is hetzelfde als 1 gedeeld door x tot de macht 5\left(\frac{1}{x^{5}}\right)\frac{1}{x^{5}}.

Machten met een exponent van 0

Een andere interessante regel is dat elk getal (behalve nul) tot de macht 0 gelijk is aan 1. Dus, tot de macht 0 (x^0xx^) is 1.

Het toepassen van rekenregels bij machten

Bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal worden de exponenten bij elkaar opgeteld. Bij het delen van machten met hetzelfde grondtal worden de exponenten van elkaar afgetrokken. Bij het nemen van een macht van een macht worden de exponenten met elkaar vermenigvuldigd.

Vermenigvuldigen: a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}a^{p}\cdot a^{q}=a^{pq}a^{p}\cdot a^{q}=a^{p\degree q}a^{p}\cdot a^{q}=a^{pq} a^{p} \cdot a^{q} = a^{p \cdot q}

Delen: \frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}

Macht van een macht: a^{{p}^{q}} = a^{p \cdot q}

Voorbeeldopgaven

Schrijf als één macht:

Oplossing:

1.Herken het grondtal: Beide machten hebben hetzelfde grondtal, namelijkxxx.

2.Gebruik de regel voor delen van machten: Bij machten met hetzelfde grondtal geldt:

3. Pas de regel toe op deze opgave:

4. Let op het minteken: Twee mintekens worden een plus:

Antwoord: