Hoe schrijf je een exponentiële functie om naar de vorm N = b * g^t?

Hoe schrijf je een exponentiële functie, zoals $N = \frac{1750}{121 \cdot 1.8^t}$, om naar de algemene vorm $N = b \cdot g^t$?

Om een exponentiële functie, zoals $N = \frac{1750}{121 \cdot 1.8^t}$, om te schrijven naar de algemene vorm $N = b \cdot g^t$, volg je de volgende stappen:

De algemene vorm van een exponentiële functie is $N = b \cdot g^t$, waarbij:

• $N$ de hoeveelheid op tijdstip $t$ is.
• $b$ de beginhoeveelheid (de waarde van $N$ als $t=0$) is.
• $g$ de groeifactor per tijdseenheid is.
• $t$ de tijd is.

Je hebt de formule $N = \frac{1750}{121 \cdot 1.8^t}$.

Stap 1: Splits de constante en de variabele term. De formule kan worden herschreven als een product van een constante en een term met $t$: $N = \frac{1750}{121} \cdot \frac{1}{1.8^t}$

Hierin is $\frac{1750}{121}$ al de constante $b$.

Stap 2: Verplaats de term met $t$ uit de noemer naar de teller. Om de term $1.8^t$ uit de noemer naar de teller te verplaatsen, gebruik je de rekenregel voor machten: $\frac{1}{a^p} = a^{-p}$. Dus, $\frac{1}{1.8^t}$ wordt $1.8^{-t}$.

De formule wordt dan: $N = \frac{1750}{121} \cdot 1.8^{-t}$

Stap 3: Herschrijf de term met de negatieve exponent naar de vorm $g^t$. We willen de term $1.8^{-t}$ schrijven als $g^t$. Hiervoor gebruiken we de rekenregel voor machten: $a^{-p} = (\frac{1}{a})^p$. Dus, $1.8^{-t}$ is hetzelfde als $(\frac{1}{1.8})^t$.

De formule wordt nu: $N = \frac{1750}{121} \cdot (\frac{1}{1.8})^t$

Stap 4: Vereenvoudig de groeifactor (optioneel). Je kunt de groeifactor $g = \frac{1}{1.8}$ verder vereenvoudigen. Eerst schrijf je $1.8$ als een breuk: $1.8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$. Dan is $g = \frac{1}{1.8} = \frac{1}{\frac{9}{5}} = \frac{5}{9}$.

Stap 5: Identificeer $b$ en $g$. Nu de formule in de vorm $N = \frac{1750}{121} \cdot (\frac{5}{9})^t$ staat, kunnen we $b$ en $g$ identificeren:

• $b = \frac{1750}{121}$ (dit is ongeveer $14.46$)
• $g = \frac{5}{9}$ (dit is ongeveer $0.56$)

De exponentiële functie $N = \frac{1750}{121 \cdot 1.8^t}$ is dus omgeschreven naar de vorm $N = b \cdot g^t$ als: $N = \frac{1750}{121} \cdot (\frac{5}{9})^t$

Of, afgerond: $N \approx 14.46 \cdot 0.56^t$