Wat is een logaritme en wat is de relatie met exponentiële functies?

Een logaritme is eigenlijk het omgekeerde van een machtsverheffing. Het helpt je de vraag te beantwoorden: "Tot welke macht moet ik een bepaald getal (de basis) verheffen om een ander getal te krijgen?"

Stel je hebt een exponentiële functie, bijvoorbeeld $y = 2^x$. Hierbij vraag je: "Wat is $y$ als $x$ een bepaalde waarde heeft?" Een logaritme draait dit om. Als je weet dat $y = 8$ en de basis is $2$, dan vraag je: "Tot welke macht moet ik $2$ verheffen om $8$ te krijgen?" Het antwoord is $3$, want $2^3 = 8$. Dit schrijf je als $\log_2(8) = 3$.

Algemeen geldt: Als $b^y = x$, dan is $y = \log_b(x)$. Hierbij is:

• $b$ de basis van de logaritme (en van de exponentiële functie). De basis moet positief zijn en niet gelijk aan 1 ($b > 0$ en $b \neq 1$).
• $x$ het getal waarvan je de logaritme neemt. Dit getal moet positief zijn ($x > 0$).
• $y$ de uitkomst van de logaritme, oftewel de exponent.

De relatie met exponentiële functies: Logaritmische functies zijn de inverse van exponentiële functies. Dit betekent dat ze elkaars werking ongedaan maken.

• Als je een getal $x$ in een exponentiële functie stopt en de uitkomst vervolgens in de bijbehorende logaritmische functie stopt, krijg je $x$ weer terug.
• Voorbeeld: Als $f(x) = b^x$ een exponentiële functie is, dan is $g(x) = \log_b(x)$ de inverse logaritmische functie.
  • $g(f(x)) = \log_b(b^x) = x$
  • $f(g(x)) = b^{\log_b(x)} = x$

Grafisch gezien zijn de grafieken van een exponentiële functie ($y = b^x$) en de bijbehorende logaritmische functie ($y = \log_b(x)$) elkaars spiegelbeeld ten opzichte van de lijn $y = x$.

Voorbeeld: Neem de exponentiële functie $y = 10^x$. Als $x=2$, dan is $y = 10^2 = 100$. De inverse hiervan is de logaritmische functie $x = \log_{10}(y)$. Als $y=100$, dan is $x = \log_{10}(100)$. Dit betekent: "Tot welke macht moet ik 10 verheffen om 100 te krijgen?" Het antwoord is 2, want $10^2 = 100$. Je ziet dat de $x$ en $y$ waarden omgewisseld zijn, wat kenmerkend is voor inverse functies.