Hoe differentieer je een logaritmische functie met de kettingregel?

Om een logaritmische functie te differentiëren met de kettingregel, volg je de algemene regel voor het differentiëren van $\ln(u)$, waarbij $u$ een functie is van $x$ (of een andere variabele).

De regel is als volgt: Als $y = \ln(u)$, waarbij $u = f(x)$, dan is de afgeleide $\frac{dy}{dx}$ gelijk aan: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$ Of, anders geschreven: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)$

Hierbij is:

• $u$ (of $f(x)$) de 'binnenfunctie' van de logaritme.
• $\frac{du}{dx}$ (of $f'(x)$) de afgeleide van die binnenfunctie.

Voorbeeld 1: Stel je wilt de functie $y = \ln(1,5x)$ differentiëren.

1. Identificeer de binnenfunctie $u$: In dit geval is $u = 1,5x$.
2. Differentieer de binnenfunctie $u$ naar $x$: De afgeleide van $1,5x$ is $\frac{du}{dx} = 1,5$.
3. Pas de kettingregel toe: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$.
4. Vul $u$ en $\frac{du}{dx}$ in: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1,5x} \cdot 1,5$.
5. Vereenvoudig de uitdrukking: $\frac{dy}{dx} = \frac{1,5}{1,5x} = \frac{1}{x}$.

Voorbeeld 2: Stel je wilt de functie $y = \ln(3-n)$ differentiëren naar $n$.

1. Identificeer de binnenfunctie $u$: In dit geval is $u = 3-n$.
2. Differentieer de binnenfunctie $u$ naar $n$: De afgeleide van $3-n$ is $\frac{du}{dn} = -1$ (de afgeleide van een constante zoals $3$ is $0$, en de afgeleide van $-n$ is $-1$).
3. Pas de kettingregel toe: $\frac{dy}{dn} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dn}$.
4. Vul $u$ en $\frac{du}{dn}$ in: $\frac{dy}{dn} = \frac{1}{3-n} \cdot (-1)$.
5. Vereenvoudig de uitdrukking: $\frac{dy}{dn} = -\frac{1}{3-n}$.