Hoe differentieer je een logaritmische functie met de kettingregel?

Question

JoJoschool · Accepted Answer

Om een logaritmische functie te differentiëren met de kettingregel, volg je de algemene regel voor het differentiëren van $\ln(u)$, waarbij $u$ een functie is van $x$ (of een andere variabele).

De regel is als volgt:
Als $y = \ln(u)$, waarbij $u = f(x)$, dan is de afgeleide $\frac{dy}{dx}$ gelijk aan:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$
Of, anders geschreven:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)$

Hierbij is:
*   $u$ (of $f(x)$) de 'binnenfunctie' van de logaritme.
*   $\frac{du}{dx}$ (of $f'(x)$) de afgeleide van die binnenfunctie.

**Voorbeeld 1:**
Stel je wilt de functie $y = \ln(1,5x)$ differentiëren.
1.  **Identificeer de binnenfunctie $u$**: In dit geval is $u = 1,5x$.
2.  **Differentieer de binnenfunctie $u$ naar $x$**: De afgeleide van $1,5x$ is $\frac{du}{dx} = 1,5$.
3.  **Pas de kettingregel toe**: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$.
4.  **Vul $u$ en $\frac{du}{dx}$ in**: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1,5x} \cdot 1,5$.
5.  **Vereenvoudig de uitdrukking**: $\frac{dy}{dx} = \frac{1,5}{1,5x} = \frac{1}{x}$.

**Voorbeeld 2:**
Stel je wilt de functie $y = \ln(3-n)$ differentiëren naar $n$.
1.  **Identificeer de binnenfunctie $u$**: In dit geval is $u = 3-n$.
2.  **Differentieer de binnenfunctie $u$ naar $n$**: De afgeleide van $3-n$ is $\frac{du}{dn} = -1$ (de afgeleide van een constante zoals $3$ is $0$, en de afgeleide van $-n$ is $-1$).
3.  **Pas de kettingregel toe**: $\frac{dy}{dn} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dn}$.
4.  **Vul $u$ en $\frac{du}{dn}$ in**: $\frac{dy}{dn} = \frac{1}{3-n} \cdot (-1)$.
5.  **Vereenvoudig de uitdrukking**: $\frac{dy}{dn} = -\frac{1}{3-n}$.

Hoe differentieer je een logaritmische functie met de kettingregel?

Hoe differentieer je een logaritmische functie met de kettingregel?

Antwoord van Ainstein

Gerelateerd materiaal

Differentiëren 2

Gerelateerde vragen