Hoe vermenigvuldig je een getal met een logaritmische breuk?

Om een logaritmische formule te herleiden, gebruik je de rekenregels voor logaritmes. Deze regels helpen je om logaritmes te splitsen, samen te voegen of het grondtal te veranderen.

De belangrijkste rekenregels zijn:

1. Productregel: $\log_g (A \cdot B) = \log_g A + \log_g B$
2. Quotiëntregel: $\log_g \left(\frac{A}{B}\right) = \log_g A - \log_g B$
3. Machtsregel: $\log_g (A^p) = p \cdot \log_g A$
4. Verandering van grondtal-regel: $\log_g A = \frac{\log_p A}{\log_p g}$ (waarbij $p$ een nieuw, zelfgekozen grondtal is, vaak 10 of $e$).

Laten we de formule $y = 3 \cdot \log_9(27x^2)$ herleiden naar de vorm $y = a + b \log x$.

Stap 1: Splits de term binnen de logaritme. De term binnen de logaritme is $27x^2$, wat een vermenigvuldiging is van $27$ en $x^2$. Gebruik de productregel (rekenregel 1): $y = 3 \cdot (\log_9 27 + \log_9 x^2)$

Stap 2: Bereken de bekende logaritme. Bereken $\log_9 27$. Dit betekent: $9^{\text{welk getal}} = 27$. Omdat $9^{1,5} = 27$ (want $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$), is $\log_9 27 = 1,5$. Vul dit in de formule in: $y = 3 \cdot (1,5 + \log_9 x^2)$

Stap 3: Vermenigvuldig de factor voor de haakjes. Vermenigvuldig de $3$ met beide termen binnen de haakjes: $y = (3 \cdot 1,5) + (3 \cdot \log_9 x^2)$ $y = 4,5 + 3 \cdot \log_9 x^2$

Stap 4: Haal de exponent uit de logaritme. Gebruik de machtsregel (rekenregel 3) om de exponent $^2$ uit $\log_9 x^2$ te halen. De exponent komt voor de logaritme te staan en wordt vermenigvuldigd met de bestaande factor $3$: $y = 4,5 + (3 \cdot 2) \cdot \log_9 x$ $y = 4,5 + 6 \cdot \log_9 x$

Stap 5: Verander het grondtal van de logaritme. De gewenste vorm is $y = a + b \log x$, wat een 10-logaritme betekent (als er geen grondtal staat, is het grondtal 10). Gebruik de verandering van grondtal-regel (rekenregel 4) om $\log_9 x$ om te zetten naar een 10-logaritme: $\log_9 x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} 9}$ (of korter: $\frac{\log x}{\log 9}$) Vul dit in de formule in: $y = 4,5 + 6 \cdot \left(\frac{\log x}{\log 9}\right)$

Stap 6: Herschrijf de term met de logaritme. De $6$ kan in de teller van de breuk geplaatst worden: $y = 4,5 + \frac{6 \cdot \log x}{\log 9}$ Dit kan ook geschreven worden als: $y = 4,5 + \frac{6}{\log 9} \cdot \log x$

Stap 7: Bereken de constante $b$ en rond af. Nu is de formule in de vorm $y = a + b \log x$, waarbij $a = 4,5$ en $b = \frac{6}{\log 9}$. Bereken de waarde van $b$: $\log 9 \approx 0,9542$ $b = \frac{6}{0,9542} \approx 6,2879$ Afgerond op twee decimalen is $b \approx 6,29$.

De herleide formule is dus: $y = 4,50 + 6,29 \log x$

Hierbij is $a = 4,50$ en $b = 6,29$.