Wat zijn de rekenregels van logaritmes?

De rekenregels van logaritmes zijn essentieel voor het vereenvoudigen van uitdrukkingen en het oplossen van vergelijkingen. Hier zijn de belangrijkste regels:

1. Somregel: $^\text{g}\log(A) + ^\text{g}\log(B) = ^\text{g}\log(A \cdot B)$

   • Deze regel stelt dat de som van twee logaritmes met hetzelfde grondtal gelijk is aan de logaritme van het product van de getallen.
   • Voorbeeld: $^2\log(4) + ^2\log(8) = ^2\log(4 \cdot 8) = ^2\log(32) = 5$. (Want $2^5 = 32$)

2. Verschilregel: $^\text{g}\log(A) - ^\text{g}\log(B) = ^\text{g}\log(\frac{A}{B})$

   • Het verschil van twee logaritmes met hetzelfde grondtal is gelijk aan de logaritme van het quotiënt van de getallen.
   • Voorbeeld: $^3\log(27) - ^3\log(3) = ^3\log(\frac{27}{3}) = ^3\log(9) = 2$. (Want $3^2 = 9$)

3. Machtsregel: $P \cdot ^\text{g}\log(A) = ^\text{g}\log(A^P)$

   • Een factor voor een logaritme kan als exponent van het getal in de logaritme worden geplaatst.
   • Voorbeeld: $2 \cdot ^5\log(25) = ^5\log(25^2) = ^5\log(625) = 4$. (Want $5^4 = 625$)

4. Grondtalverandering: $^\text{g}\log(A) = \frac{^\text{p}\log(A)}{^\text{p}\log(g)}$

   • Deze regel maakt het mogelijk om een logaritme met grondtal $g$ om te zetten naar een logaritme met een ander grondtal $p$. Dit is handig als je bijvoorbeeld een rekenmachine gebruikt die alleen de $10\log$ of de natuurlijke logaritme ($\ln$) heeft.
   • Voorbeeld: Om $^2\log(16)$ te berekenen met een rekenmachine die alleen $10\log$ heeft: $^2\log(16) = \frac{\log(16)}{\log(2)} = \frac{1,204}{0,301} \approx 4$.

5. Inverse relatie:

   • $g^{^\text{g}\log(A)} = A$
     • De exponentiële functie en de logaritmische functie zijn elkaars inverse.
     • Voorbeeld: $7^{^7\log(49)} = 49$.
   • $^\text{g}\log(g^A) = A$
     • De $g$-logaritme van $g$ tot de macht $A$ is gelijk aan $A$.
     • Voorbeeld: $^5\log(5^3) = 3$.

6. Speciale gevallen:

   • Als er geen grondtal bij de logaritme staat (bijvoorbeeld $\log(x)$), dan is dit standaard de $10\log$.
   • $^\text{a}\log(1) = 0$, omdat elk getal $a$ tot de macht 0 gelijk is aan 1.
   • $^\text{a}\log(a) = 1$, omdat $a$ tot de macht 1 gelijk is aan $a$.

Deze regels zijn de basis voor het werken met logaritmes en het oplossen van logaritmische vergelijkingen.