Wanneer en hoe gebruik je logaritmen in natuurkunde?

Logaritmen gebruik je in de natuurkunde, vooral bij radioactiviteit, wanneer de variabele die je wilt berekenen in de exponent van een formule staat. Een logaritme is de omgekeerde bewerking van een macht en beantwoordt de vraag: "Tot welke macht moet ik het grondtal verheffen om een bepaald getal te krijgen?"

Wanneer gebruik je logaritmen?

• Bij de intensiteitsformule ($I = I_0(1/2)^{d/d_{1/2}}$): Hierin is $I$ de doorgelaten intensiteit, $I_0$ de beginintensiteit, $d$ de dikte van het materiaal en $d_{1/2}$ de halveringsdikte. Als je de dikte $d$ wilt berekenen, staat deze in de exponent. Om $d$ uit de exponent te halen, gebruik je logaritmen.
• Bij het aantal deeltjes ($N$): De letter $N$ staat voor het aantal radioactieve deeltjes op een bepaald moment. Als je de tijd wilt berekenen die nodig is om tot een bepaald aantal deeltjes te komen (bijvoorbeeld via een formule als $N = N_0 \cdot (1/2)^{t/t_{1/2}}$ waarbij $t$ de tijd is en $t_{1/2}$ de halveringstijd), dan staat de tijd $t$ in de exponent. Ook hier gebruik je logaritmen om $t$ te vinden. Als je echter direct het aantal deeltjes $N$ wilt berekenen na een bepaalde tijd, dan hoef je geen logaritmen te gebruiken.

Hoe gebruik je logaritmen? Stel je hebt een vergelijking van de vorm $a^x = b$. Om $x$ te vinden, gebruik je de logaritme: $x = \log_a(b)$. Dit betekent dat $x$ de macht is waartoe je $a$ moet verheffen om $b$ te krijgen.

Laten we dit toepassen op de intensiteitsformule $I = I_0(1/2)^{d/d_{1/2}}$ om de dikte $d$ te berekenen:

1. Deel door $I_0$: $I/I_0 = (1/2)^{d/d_{1/2}}$
2. Neem de logaritme van beide kanten: Je kunt elke logaritme gebruiken (bijvoorbeeld $\log_{10}$ of $\ln$). Laten we $\log_{10}$ gebruiken: $\log_{10}(I/I_0) = \log_{10}((1/2)^{d/d_{1/2}})$
3. Gebruik de logaritme-regel $\log(a^b) = b \cdot \log(a)$: $\log_{10}(I/I_0) = (d/d_{1/2}) \cdot \log_{10}(1/2)$
4. Los op voor $d$: $d = d_{1/2} \cdot \frac{\log_{10}(I/I_0)}{\log_{10}(1/2)}$

Voorbeeld: Stel, de beginintensiteit $I_0$ is $100 \text{ W/m}^2$, de doorgelaten intensiteit $I$ is $25 \text{ W/m}^2$, en de halveringsdikte $d_{1/2}$ van het materiaal is $2 \text{ cm}$. We willen de dikte $d$ van het materiaal berekenen.

1. $I/I_0 = 25/100 = 0,25$
2. $\log_{10}(0,25) = (d/2) \cdot \log_{10}(0,5)$
3. $-0,602 = (d/2) \cdot (-0,301)$
4. $d = 2 \cdot \frac{-0,602}{-0,301} = 2 \cdot 2 = 4 \text{ cm}$

Waarom de uitkomst in centimeters (cm) is: De eenheid van de berekende dikte $d$ hangt af van de eenheid die je gebruikt voor de halveringsdikte $d_{1/2}$. Als je $d_{1/2}$ in centimeters invult, zal de uitkomst voor $d$ ook in centimeters zijn. Als je $d_{1/2}$ in meters invult, zal $d$ in meters zijn. In het voorbeeld hierboven is $d_{1/2}$ in cm gegeven, dus is de uitkomst voor $d$ ook in cm.

Verschil tussen $N$ en activiteit $A$: De letter $N$ staat voor het aantal deeltjes op een bepaald moment. Het is dus een telbaar aantal en heeft geen specifieke eenheid zoals 'per seconde'. De activiteit ($A$) is wel het aantal deeltjes dat per seconde vervalt. De eenheid hiervan is Becquerel (Bq), wat gelijk is aan $1$ verval per seconde.