Om het rekenen met logaritmes makkelijker te maken zijn er een aantal rekenregels afgeleid. Hier zijn de belangrijkste rekenregels die je moet kennen:
\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\cdot b\right)
\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right)
p\cdot\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a^{p}\right)
\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{\log_{p}\left(g\right)}
Toepassing van de rekenregels
Als je bijvoorbeeld de logaritme met een bepaald grondtal, zoals\log_2van iets, wilt omrekenen naar een ander grondtal zoals\log_3of\log_5,kun je de vierde rekenregel toepassen.
Bewijzen van de rekenregels
Eerste regel bewijzen
\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\cdot b\right)
Begin met\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)en schrijf dit in de exponent van g tot de macht:
g^{\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)}.
Volgens de rekenregel voor machten heb je:
g^{p}\cdot g^{q}=g^{p+q}.
Dit leidt tot:
g^{\log_{g}(a)}\cdot g^{\log_{g}\left(b\right)}.
Omdatg^{\log_{g}\left(a\right)}=aeng^{\log_{g}\left(b\right)}=b,krijg je:
a\cdot b.
Schrijf dit als:
g^{\log_{g}(a\cdot b)}.
Dit mag omdat de exponent van de logaritme vanxgelijk is aanx.
Dit kun je gelijk stellen aang^{\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)}:
g^{\log_{g}(a\cdot b)}=g^{\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)}.
Als de grondtallen gelijk zijn, dan zijn ook de exponenten gelijk, wat betekent dat:
\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}(a\cdot b\right).
En dat is de eerste regel.
Tweede regel bewijzen
\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right)
Begin met\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)en schrijf dit in de exponent van g:
g^{\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)}.
Toepassing van de rekenregel voor het delen van machten:
g^{p-q}=\frac{g^{p}}{g^{q}}.
Dit leidt tot:
\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{\log_{g}\left(b\right)}}.
Dit geeft \frac{a}{b}.
Schrijf dit als:
g^{\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right)}
Stel dit gelijk aang^{\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)},waar we mee begonnen:
g^{\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right)}=g^{\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)}.
Als de grondtallen weer gelijk zijn, dan zijn de exponenten ook gelijk, dus:
\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right).
Zo hebben we de tweede regel bewezen.
Derde regel bewijzen
p\cdot\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a^{p}\right)
Zetp\cdot\log_{g}\left(a\right)in de exponent:
g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}.
Volg de rekenregel voor machten:
a^{pq}=(a^{p})^{q}.
Hierdoor krijg je:
\left(g^{\log_{g}\left(a\right)}\right)^{p}.
Omdatg^{^{}\log_{g}a}gelijk is aana, krijg je:
a^{p}.
Schrijf dit dan weer als:
g^{\log_{g}\left(a^{p}\right)}.
En stel het gelijk aan g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}:
g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}=g^{\log_{g}\left(a^{p}\right)}.
De grondtallen zijn gelijk, dus de exponenten zijn ook gelijk, dus:
p\cdot\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a^{p}\right).
Vierde regel bewijzen
\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{\log_{p}\left(g\right)}
Begin met \log_{g}\left(a\right) en vermenigvuldig aan beide zijden met\log_{p}\left(g\right):
\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)\right..
Stop dit in een exponent met grondtalp:
p^{\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)\right.}.
Volg de rekenregel voor machten:
a^{pq}=(a^{p})^{q}.
Hierdoor krijg je:
\left(p^{\log_{p}\left(g\right)}\right)^{\log_{g}\left(a\right)}.
Hieruit volgt:
p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=a=p^{\log_{p}\left(a\right)}
Stel dit gelijk aanp^{\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)\right.}:
p^{\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)\right.}=p^{\log_{p}\left(a\right)}.
De grondtallen zijn gelijk, dus de exponenten moeten ook gelijk zijn:
\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right).
Deel\log_{p}\left(a\right)door\log_{p}\left(g\right):
\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{\log_{p}\left(g\right)}.
Zo zijn alle vier de regels bewezen.
