Hoe bereken je de kans dat je bij 7 keer draaien minstens 6 keer niet op blauw komt?

Question

Hoe bereken je de kans dat je bij 7 keer draaien met een draaischijf (met 3 rode, 2 witte en 1 blauwe sector) minstens 6 keer niet op blauw komt?

JoJoschool · Accepted Answer

Om de kans te berekenen dat je bij 7 keer draaien minstens 6 keer niet op blauw komt, gebruik je de binomiale kansverdeling. Dit is een methode die je toepast wanneer je een vast aantal herhalingen (draaien) hebt, elke herhaling twee mogelijke uitkomsten heeft (wel of niet blauw), en de kans op succes bij elke herhaling hetzelfde is.

Eerst bepalen we de kansen voor één draai:
*   De draaischijf heeft $3 (	ext{rood}) + 2 (	ext{wit}) + 1 (	ext{blauw}) = 6$ sectoren in totaal.
*   De kans om op blauw te komen is $P(	ext{blauw}) = \frac{	ext{aantal blauwe sectoren}}{	ext{totaal aantal sectoren}} = \frac{1}{6}$.
*   De kans om **niet** op blauw te komen (dit is ons 'succes' in deze berekening) is $P(	ext{niet blauw}) = 1 - P(	ext{blauw}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

We willen de kans weten op "minstens 6 keer niet op blauw" bij 7 draaibeurten. Dit betekent dat we de kansen moeten optellen voor de volgende twee scenario's:
1.  Precies 6 keer niet op blauw (en dus 1 keer wel op blauw).
2.  Precies 7 keer niet op blauw (en dus 0 keer wel op blauw).

De formule voor binomiale kansen is:
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Waarbij:
*   $n$ = het totale aantal draaibeurten (7)
*   $k$ = het aantal keren 'succes' (niet op blauw) dat we willen berekenen (6 of 7)
*   $p$ = de kans op 'succes' bij één draai (kans op niet blauw, dus $\frac{5}{6}$)
*   $(1-p)$ = de kans op 'mislukking' bij één draai (kans op blauw, dus $\frac{1}{6}$)
*   $\binom{n}{k}$ = het aantal manieren om $k$ successen te behalen in $n$ pogingen, berekend als $\frac{n!}{k!(n-k)!}$

**Scenario 1: Precies 7 keer niet op blauw ($k=7$)**
Hierbij draai je 7 keer 'niet blauw' en 0 keer 'wel blauw'.
$P(X=7) = \binom{7}{7} \cdot \left(\frac{5}{6}ight)^7 \cdot \left(\frac{1}{6}ight)^0$
$\binom{7}{7} = 1$ (er is maar één manier om 7 keer achter elkaar niet blauw te draaien)
$P(X=7) = 1 \cdot \left(\frac{5}{6}ight)^7 \cdot 1 = \left(\frac{5}{6}ight)^7 = \frac{5^7}{6^7} = \frac{78125}{279936} \approx 0,27908$

**Scenario 2: Precies 6 keer niet op blauw ($k=6$)**
Hierbij draai je 6 keer 'niet blauw' en 1 keer 'wel blauw'.
$P(X=6) = \binom{7}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}ight)^6 \cdot \left(\frac{1}{6}ight)^1$
$\binom{7}{6} = \frac{7!}{6!(7-6)!} = \frac{7!}{6!1!} = \frac{7 	imes 6!}{6! 	imes 1} = 7$ (er zijn 7 manieren waarop die ene keer blauw kan vallen)
$P(X=6) = 7 \cdot \left(\frac{5}{6}ight)^6 \cdot \left(\frac{1}{6}ight)^1$
$P(X=6) = 7 \cdot \frac{5^6}{6^6} \cdot \frac{1}{6} = 7 \cdot \frac{15625}{46656} \cdot \frac{1}{6} = \frac{7 	imes 15625}{46656 	imes 6} = \frac{109375}{279936} \approx 0,39071$

**Totale kans voor "minstens 6 keer niet op blauw"**
Omdat deze twee scenario's elkaar uitsluiten (je kunt niet tegelijkertijd precies 6 én precies 7 keer niet op blauw draaien), tellen we de kansen bij elkaar op (somregel):
$P(	ext{minstens 6 keer niet blauw}) = P(X=7) + P(X=6)$
$P(	ext{minstens 6 keer niet blauw}) = \frac{78125}{279936} + \frac{109375}{279936}$
$P(	ext{minstens 6 keer niet blauw}) = \frac{78125 + 109375}{279936} = \frac{187500}{279936}$

Deze breuk kan vereenvoudigd worden. Deel teller en noemer door 4:
$\frac{187500 \div 4}{279936 \div 4} = \frac{46875}{69984}$
Deel teller en noemer door 3:
$\frac{46875 \div 3}{69984 \div 3} = \frac{15625}{23328}$

De kans dat je bij 7 keer draaien minstens 6 keer niet op blauw komt, is $\frac{15625}{23328}$ of ongeveer $0,6709$.

[Voorbeeld]
Stel je voor dat je een munt 3 keer opgooit en je wilt weten wat de kans is dat je minstens 2 keer kop gooit.
*   $n=3$ (3 keer opgooien)
*   $p=0,5$ (kans op kop)
*   $1-p=0,5$ (kans op munt)
*   "Minstens 2 keer kop" betekent $k=2$ of $k=3$.

1.  **Precies 3 keer kop ($k=3$):**
    $P(X=3) = \binom{3}{3} \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^0 = 1 \cdot 0,125 \cdot 1 = 0,125$

2.  **Precies 2 keer kop ($k=2$):**
    $P(X=2) = \binom{3}{2} \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^1 = 3 \cdot 0,25 \cdot 0,5 = 0,375$

Totale kans: $P(	ext{minstens 2 keer kop}) = 0,125 + 0,375 = 0,5$.

Hoe bereken je de kans dat je bij 7 keer draaien minstens 6 keer niet op blauw komt?

Hoe bereken je de kans dat je bij 7 keer draaien minstens 6 keer niet op blauw komt?

Antwoord van Ainstein

Gerelateerd materiaal

Binomiale kans

Gerelateerde vragen