Binomiale kans

Laten we beginnen met te begrijpen wat de term 'binomiaal' betekent. In dit geval betekent dat je te maken hebt met twee mogelijke uitkomsten. Concreet heb je de kans op gebeurtenis 'g', wat de kans is dat gebeurtenis 'g' plaatsvindt, of de kans dat gebeurtenis 'g' niet plaatsvindt. Dit is ook bekend als de kans op succes (aangeduid met 'p') en de kans op mislukking (aangeduid met 'q').

Bij het optellen van de kans op succes met de kans op mislukking, krijg je 1, wat de totale kans of mogelijkheden vertegenwoordigt. Concreet betekent dit dat als je de kans op succes wilt berekenen en je hebt al de kans op mislukking, je berekent dit door 1 - q te doen. Als je daarentegen de kans op mislukking wilt weten en je hebt al de kans op succes, dan bereken je dit door 1 - p te doen.

Principes van binomiale kans

In het geval van een binomiale kans blijft de kans bij elke poging gelijk. Stel dat je naar een multiplechoicevraag kijkt met vier opties (a, b, c, d), en je weet het antwoord niet dus gok je. Als antwoord 'a' correct is, heb je een kans van 0,25 dat je goed gokt. De kans op falen, of je het nu verkeerd hebt door te kiezen voor optie 'c', 'b' of 'd', wordt dus aangeduid als de kans op mislukking, dit is dan dus 1 - 0,25 = 0,75.

Er zijn ook andere situaties die je zou kunnen vertalen naar een vaasmodel, dat een eenvoudige manier is om complexe situaties voor te stellen voor kansberekening.

Berekening van de binomiale kans - getallen die je nodig hebt

Er zijn drie kentallen die je altijd nodig hebt bij binomiale kansberekening:

1.x - Dit zijn de zogenaamde 'toevalsvariabelen', oftewel de uitkomsten waar je naar kijkt.

2.p - Dit is de kans op succes.

3.n - Dit is het aantal pogingen dat je doet.

Toepassing - Kans met dobbelstenen

Om beter te begrijpen hoe dit werkt, laten we eens naar een voorbeeld kijken. Stel we gooien met vijf dobbelstenen en kijken naar het aantal keer dat we '6' gooien.

•Hieruit weten we meteen dat 'n' gelijk is aan 5 (het aantal pogingen).

•De kans op succes 'p', of het gooien van een '6', is\frac{1}{6}\large{\frac{1}{6}}\frac{1}{6}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}.

•De vraag is nu: wat is de kans om twee keer een '6' te gooien met de vijf dobbelstenen?

We kunnen dit berekenen door te kijken naar de kans op succes: één zesde voor elke '6' die wordt gegooid (of\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\large{\frac{1}{6}}, omdat we kijken naar tweemaal '6'). De resterende drie dobbelstenen mogen geen '6' zijn (wat vertaald wordt tot\frac{5}{6}^3ffrfrafracfrac{5}frac{5}{6}frac{5}{6}^{}frac{5}{6}^3\large{\frac{5}{6}}^{3}). Vervolgens moeten we dit nog vermenigvuldigen met het aantal mogelijke combinaties van twee '6'en uit vijf pogingen - wat in de wiskunde geschreven wordt als '5 boven 2'. Het resultaat van deze kansberekening kan worden uitgerekend met een rekenmachine en is gelijk aan 0,1608.

Cumulatieve kans

Een andere belangrijke term die je moet begrijpen is cumulatieve kans. Dit verwijst naar de som van de kansen tot en met een specifieke uitkomst. Dus als we teruggaan naar ons dobbelsteen voorbeeld waarbij we de kans berekenden dat we 2 keer een '6' gooien, kunnen we ook de cumulatieve kans berekenen, wat de kans is dat we hooguit 2 keer een '6' gooien. Als je bijvoorbeeld de kans wil berekenen dat het maximaal 2 keer voorkomt dat je 6 gooit. P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2). Dit kan je berekenen met behulp van je rekenmachine en de functie binomcdf(n,p,X). Als je dit allemaal correct invult, dus n = 5, p =\frac{1}{6}\large{\frac{1}{6}}en X ≤ 2 is de uitkomst gelijk aan 0,9645.

Voorwaarts en achterwaarts rekenen met binomiale kans

In sommige oefeningen, zou je de kans gegeven hebben, en word je gevraagd om het aantal pogingen (n) te berekenen. Neem dit voorbeeld: Hoe vaak moet je met een dobbelsteen gooien om met een kans van 0,26 minimaal twee keer een zes te gooien? We weten dus P(X ≥ 2) = 0,26. Dit is gelijk aan 1 - P(X ≤ 1). We krijgen dan 0,26 = 1 - binomcdf(n = ?, p =\frac{1}{6\large{\frac{1}{6}}, X ≤ 1). Als we dit in onze rekenmachine als formule invullen met n = x, kunnen we uit de tabel aflezen wanneer de uitkomst gelijk is aan 0,26. In dit geval is dat n = 6.

Stappenplan

Tenslotte, een handig stappenplan om binomiale kansberekeningen aan te pakken:

1.Bepaal de kentallen (n, p, X).

2.Controleer of de situatie binomiaal is.

3.Voor een exacte waarschijnlijkheid (x is gelijk aan), gebruik binompdf of binomialpd.

4.Voor cumulatieve waarschijnlijkheid (x kleiner of gelijk aan), gebruik binomcdf of binomialcd.

5.Let op het verschil ≤ en <.

6.Voor cumulatieve waarschijnlijkheid met "groter dan" of een tussenbereik, gebruik een getallenlijn om te visualiseren.

7.Groter dan: 1 - P(X ≤ ...).

8.Bij bepaalde waarden vanaf: P(X ≤ ...) - P(X ≤ ...).

9.Als 'n' onbekend is, gebruik op de grafische rekenmachine de optie table.