Kans 2

Kans, aangegeven met een p of P(x), bereken je door het aantal gunstige mogelijkheden te delen door het totaal aantal mogelijkheden. Dit kan een breuk, een decimale breuk of in procenten zijn. Het resultaat ligt altijd tussen 0 en 1. Een kansboom is een nuttige tool om kansen te visualiseren.

Laten we een voorbeeld bespreken: Stel dat je een zak met knikkers hebt en je pakt een knikker, controleert of het wit is, stopt het terug en herhaalt dit proces. Als je dit vijf keer zou doen, dan zou je de kans om een witte knikker te trekken elk moment verheffen tot de macht vijf, omdat de kans bij "trekken met terugleggen" steeds dezelfde blijft. Als je daarentegen trekt zonder terug te leggen, dan verandert de verdeling elke keer dat je een knikker pakt, omdat je totaal aantal knikkers verandert.

Kansboom

Je hebt een vaas met 20 knikkers. 5 witte, 7 rode en 8 blauwe. Je gaat twee keer een knikker uit de vaas halen zonder terug te leggen. Hierbij kan je een kansboom maken. Dit is overzichtelijk, waarbij je makkelijk voor iedere mogelijkheid de kans kan berekenen. Hieronder is de kansboom van deze situatie te zien met een paar voorbeelden.

Stap voor stap naar kansberekening

Bij het berekenen van kansen is het nuttig een stappenplan te hebben. Bij telproblemen kijk je eerst of de volgorde van belang is. Dan kijk je of het met of zonder terugleggen is. Vervolgens bekijk je of het kansen zijn die je bij elkaar moet optellen of dat ze met elkaar moet vermenigvuldigen. Als laatst kijk je naar wat meer werk is. Is het minder werk om de kans uit te rekenen of de niet-kans. De som van alle kansen is namelijk 1. Dus de kans = 1 - niet-kans.

Voorwaardelijke en onafhankelijke kans

Voorwaardelijke kans is de kans op een gebeurtenis, gegeven dat een andere gebeurtenis al heeft plaatsgevonden. Bijvoorbeeld, de kans dat de voornaam van iemand met een A begint, gegeven dat zijn achternaam al begint met een B.

Aan de andere kant, spreken we van onafhankelijke kansen als de kans op een gebeurtenis niet wordt beïnvloed door de andere gebeurtenis. Met andere woorden: gebeurtenis A en B zijn onafhankelijk als de kans op A niet verandert of B plaatsvindt, en vice versa.

Stel dat er in een vaas 20 genummerde knikkers zitten. 5 witte met nummers 2, 4, 6, 8, 10 en 7 rode met nummers 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10 en 8 blauwe met nummers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Dan pakken we een knikker uit de vaas. Gebeurtenis A is dat de knikker rood is. Gebeurtenis B is dat er een 8 op de knikker staat en gebeurtenis C is dat het nummer van de knikker oneven is. P(A) =\frac{7}{20}\large{\frac{7}{20}}= 0,35. P(B) =\frac{3}{20}ffrfrafracfrac{3}frac{3}{20}\large{\frac{3}{20}}= 0,15. P(C) =\frac{9}{20ffrfrafracfrac{9}frac{9}{20}\large{\frac{9}{20}}.

Nu kunnen we ook de kans op A uitrekenen onder voorwaarde dat B ook geldt. Je gaat er nu dus vanuit dat er een 8 op de knikker staat. Dit zijn er 3. Gebeurtenis A geeft aan dat het een rode moet zijn, dus P(A|B) =\frac{1}{3}ffrfrafracfrac{1}frac{1}{3}\large{\frac{1}{3}}= 0,3333. De kans op B onder voorwaarde dat A geldt, is dan P(B|A) =\frac{1}{7}\large{\frac{1}{7}}= 0,1429.

Voorbeeld: De rode en blauwe dobbelsteen

Overweeg een scenario waar je gooit met twee dobbelstenen, één rood en één blauw. Stochast A is P(de som van het aantal ogen. Stochast B is het aantal ogen van de blauwe dobbelsteen. In onderstaande afbeelding zijn alle mogelijke opties weergegeven.

De kans op A = even is dan P(A = even) =\frac{18}{36}\large{\frac{18}{36}}= 0,5.

De kans dat B = 3 is P(B = 3) =\frac{6}{36}=\frac16\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}}\large{\frac{6}{36}}.

We kunnen ook kijken naar wat de kans is dat A even is onder voorwaarde dat B gelijk aan 3 is. Dit is P(A = even|B = 3) =\frac{3}{6}}\large{\frac{3}{6}}= 0,5.

De kans dat B gelijk aan 3 is onder voorwaarde dat A even is, is dan P(B = 3| A = even) = \frac{3}{18}=\frac16\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}\large{\frac{3}{18}}.

Omdat de kansen ongeacht de voorwaarden aan elkaar gelijk zijn, kunnen we concluderend dat P(A = even) en P(B = 3) onafhankelijk van elkaar zijn.