Kans 2

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat kans is.

•Je kunt uitleggen hoe een kansboom werkt.

•Je kunt het stappenplan van kansberekening uitleggen.

•Je kunt uitleggen wat de voorwaardelijke en de onafhankelijke kans is.

Kans

Kans, aangegeven met een p of P(x), bereken je door het aantal gunstige mogelijkheden te delen door het totaal aantal mogelijkheden. Dit kan een breuk, een decimale breuk of in procenten zijn. Het resultaat ligt altijd tussen 0 en 1. Een kansboom is een nuttige tool om kansen te visualiseren.

De formule van kans: \text{Kans = gunstig / totaal}\text{Kans = unstig / totaal}\text{Kans = Gunstig / totaal}\text{Kans = Gunstig / totaa}\text{Kans = Gunstig / tota}\text{Kans = Gunstig / tot}\text{Kans = Gunstig / to}\text{Kans = Gunstig / t}\text{Kans = Gunstig / }\text{Kans = Gunstig / t}\text{Kans = Gunstig / to}\text{Kans = Gunstig / tot}\text{Kans = Gunstig / to}\text{Kans = Gunstig / t}\text{Kans = Gunstig / }\text{Kans = Gunstig /}\text{Kans = Gunstig }\text{Kans = Gunstig}\text{Kans = Gunstig/}\text{Kans = Gunstig/ }\text{Kans = Gunstig/}\text{Kans = Gunstig}\text{Kans = Gunsti}\text{Kans = Gunst}\text{Kans = Guns}\text{Kans = Gun}\text{Kans = Gu}\text{Kans = G}\text{Kans = }\text{Kans =}\text{Kans }\text{Kans}\text{Kan}\text{Ka}\text{K}

Het resultaat is altijd: 0\le p\le1

Voorbeeld

Stel dat je een zak met knikkers hebt en je pakt een knikker, controleert of het wit is, stopt het terug en herhaalt dit proces. Als je dit vijf keer zou doen, dan zou je de kans om een witte knikker te trekken elk moment verheffen tot de macht vijf, omdat de kans bij "trekken met terugleggen" steeds dezelfde blijft. Dit is daarom een machtsboom.

Als je daarentegen trekt zonder terug te leggen, dan verandert de verdeling elke keer dat je een knikker pakt, omdat je totale aantal knikkers verandert. Dit is hetzelfde als in één greep vijf knikkers pakken en kijken hoeveel daarvan wit zijn. In beide situaties heb je een faculteitsboom.

Bij een kleine steekproef van een hele grote greep is het vaak ingewikkeld als je dat gaat zien als een faculteitsboom. Als het een hele grote groep is en je gaat er een kleine steekproef uithalen, kun je trekken zonder terugleggen benaderen met trekken met terugleggen. Zo krijg je wel steeds dezelfde kans.

Kansboom

Je hebt een vaas met 20 knikkers. 5 witte, 7 rode en 8 blauwe. Je gaat twee keer een knikker uit de vaas halen zonder deze terug te leggen. Hierbij kan je een kansboom maken. Dit is overzichtelijk, waarbij je makkelijk voor iedere mogelijkheid de kans kan berekenen. Hieronder is de kansboom van deze situatie te zien met een paar voorbeelden.

Stappenplan kansberekening

Bij het berekenen van kansen is het nuttig een stappenplan te hebben:

1.Volgorde: bij telproblemen kijk je eerst of de volgorde van belang is.

2.Met of zonder terugleggen: dan kijk je of het met of zonder terugleggen is.

3.Optellen of vermenigvuldigen: vervolgens bekijk je of het kansen zijn die je bij elkaar moet optellen of dat je ze met elkaar moet vermenigvuldigen.

4.Minder werk om de niet-kans uit te rekenen: is het minder werk om de kans uit te rekenen of de niet-kans? De niet-kans noemen we de complementaire kans. De som van alle kansen is namelijk 1. Dus er geldt: \text{Kans = 1 - niet kans}\text{Kans = 1 - niet kan}\text{Kans = 1 - niet ka}\text{Kans = 1 - niet k}\text{Kans = 1 - niet ks}\text{Kans = 1 - niet ksn}\text{Kans = 1 - niet ks}\text{Kans = 1 - niet k}\text{Kans = 1 - niet ks}\text{Kans = 1 - niet k}\text{Kans = 1 - niet }\text{Kans = 1 - niet}\text{Kans = 1 - niet-}\text{Kans = 1 - niet-l}\text{Kans = 1 - niet-la}\text{Kans = 1 - niet-l}\text{Kans = 1 - niet-}\text{Kans = 1 - niet}\text{Kans = 1 - nie}\text{Kans = 1 - ni}\text{Kans = 1 - n}\text{Kans = 1 - }\text{Kans = 1 -}\text{Kans = 1 }\text{Kans = 1}\text{Kans = 1-}\text{Kans = 1- }\text{Kans = 1-}\text{Kans = 1}\text{Kans = }\text{Kans =}\text{Kans }\text{Kans}\text{Kan}\text{Ka}\text{K}kkak\text{S}\text{So}\text{Som}\text{Som }\text{Som a}\text{Som al}\text{Som all}\text{Som all}\text{Som alle}\text{Som alle }\text{Som alle k}\text{Som alle ka}\text{Som alle kan}\text{Som alle kans}\text{Som alle kanse}\text{Som alle kansen}\text{Som alle kansen }\text{Som alle kansen}\text{Som alle kanse}\text{Som alle kans}\text{Som alle kan}\text{Som alle ka}\text{Som alle k}\text{Som alle }\text{Som alle m}\text{Som alle }\text{Som alle}\text{Som all}\text{Som al}\text{Som a}\text{Som }\text{Som}\text{So}\text{S}ssosomsomesomsos\text{A}\text{Al}\text{All}\text{Alle}\text{Alle }\text{Alle k}\text{Alle }\text{Alle l}\text{Alle la}\text{Alle l}\text{Alle }\text{Alle}\text{All}\text{Al}\text{A}\text{Al}\text{All}\text{Alle}\text{Alle }\text{Alle k}\text{Alle ka}\text{Alle kan}\text{Alle kans}\text{Alle kanse}\text{Alle kansen}\text{Alle kansen }\text{Alle kansen b}\text{Alle kansen bi}\text{Alle kansen bij}\text{Alle kansen bi}\text{Alle kansen bi }\text{Alle kansen bi}\text{Alle kansen b}\text{Alle kansen }\text{Alle kansen}\text{Alle kanse}\text{Alle kans}\text{Alle kan}\text{Alle ka}\text{Alle k}\text{Alle }\text{Alle}\text{All}\text{Al}\text{A}

Voorwaardelijke en onafhankelijke kans

Voorwaardelijke kans

Voorwaardelijke kans is de kans op een gebeurtenis, gegeven dat een andere gebeurtenis al heeft plaatsgevonden.

In de linker cirkel is er een kans dat de voornaam van iemand met een A begint. In de rechter cirkel is er een kans dat de achternaam van iemand met een B begint. In het midden is er overlap \left(\cap\right)\cap)\cap\cap O\cap O\cap, en hier is er kans dat de voornaam begint met een A én de achternaam met een B. Dit kan je zien aan:

•\left(\cap\right)\left(\right)→ zowel A als B.

•P(A|B) en P(B|A) → de kans op A onder voorwaarde dat B al geldt (en andersom).

Buiten die gebieden is het niet A én niet B. Alle voornamen beginnen niet met A en alle achternamen beginnen niet met B.

•P(niet-A|niet-B) → het is niet A onder voorwaarde dat het niet B is.

Voorbeeld voorwaardelijke kans

Stel dat er in een vaas 20 genummerde knikkers zitten. 5 witte met nummers 2, 4, 6, 8, 10 en 7 rode met nummers 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10 en 8 blauwe met nummers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Dan pakken we een knikker uit de vaas.

•Gebeurtenis A is dat de knikker rood is.

•Gebeurtenis B is dat er een 8 op de knikker staat.

•Gebeurtenis C is dat het nummer van de knikker oneven is.

P(A) =\frac{7}{20}=0{,}35\frac{7}{20}=0{,}3\frac{7}{20}=0{,}\frac{7}{20}=0\frac{7}{20}=\frac{7}{20}\large{\frac{7}{20}} P(B) =\frac{3}{20}=0{,}15\frac{3}{20}=0{,}1\frac{3}{20}=0{,}\frac{3}{20}=0\frac{3}{20}=\frac{3}{20}ffrfrafracfrac{3}frac{3}{20}\large{\frac{3}{20}}P(C) =\frac{9}{20}=0{,}45\frac{9}{20}=0{,}4\frac{9}{20}=0{,}\frac{9}{20}=0\frac{9}{20}=\frac{9}{20}\frac{9}{20=}\frac{9}{20=0}\frac{9}{20=0{,}}\frac{9}{20=0{,}4}\frac{9}{20=0{,}45\frac{9}{20=0{,}4\frac{9}{20=0{,}\frac{9}{20=0\frac{9}{20=\frac{9}{20ffrfrafracfrac{9}frac{9}{20}\large{\frac{9}{20}}

Nu kunnen we ook de kans op A uitrekenen onder voorwaarde dat B ook geldt. Je gaat er nu dus vanuit dat er een 8 op de knikker staat. Dit zijn er 3. Gebeurtenis A geeft aan dat het een rode moet zijn, dus P(A|B) =\frac{1}{3}ffrfrafracfrac{1}frac{1}{3}\large{\frac{1}{3}}= 0,3333. De kans op B onder voorwaarde dat A geldt, is dan P(B|A) =\frac{1}{7}\large{\frac{1}{7}}= 0,1429.

Onafhankelijke kans

Aan de andere kant spreken we van onafhankelijke kansen als de kans op een gebeurtenis niet wordt beïnvloed door de andere gebeurtenis. Met andere woorden: gebeurtenis A en B zijn onafhankelijk als de kans op A niet verandert of B plaatsvindt, en vice versa.

Voorbeeld onafhankelijke kans

Overweeg een scenario waarin je gooit met twee dobbelstenen, één rood en één blauw.

•Stochast A is de som van het aantal ogen.

•Stochast B is het aantal ogen van de blauwe dobbelsteen.

In onderstaande afbeelding zijn alle mogelijke opties weergegeven.

De kans op A = even is dan P(A = even) =\frac{18}{36}\large{\frac{18}{36}}= 0,5.

De kans dat B = 3 is P(B = 3) =\frac{6}{36}=\frac16=0{,}1667\frac{6}{36}=\frac16=0{,}166\frac{6}{36}=\frac16=0{,}16\frac{6}{36}=\frac16=0{,}1\frac{6}{36}=\frac16=0{,}\frac{6}{36}=\frac16=0\frac{6}{36}=\frac16=\frac{6}{36}=\frac16\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}=\frac{6}{36}}\large{\frac{6}{36}}.

We kunnen ook kijken naar wat de kans is dat A even is onder voorwaarde dat B gelijk aan 3 is.

Dit is P(A = even|B = 3) =\frac{3}{6}}\large{\frac{3}{6}}= 0,5.

De kans dat B gelijk aan 3 is onder voorwaarde dat A even is, is dan P(B = 3| A = even) = \frac{3}{18}=\frac16=0{,}1667\frac{3}{18}=\frac16=0{,}166\frac{3}{18}=\frac16=0{,}16\frac{3}{18}=\frac16=0{,}1\frac{3}{18}=\frac16=0{,}\frac{3}{18}=\frac16=0\frac{3}{18}=\frac16=\frac{3}{18}=\frac16\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}=\frac{3}{18}\large{\frac{3}{18}}.

Omdat de kansen ongeacht de voorwaarden aan elkaar gelijk zijn, kunnen we concluderen dat P(A = even) en P(B = 3) onafhankelijk van elkaar zijn.