Leerdoelen
•Je kunt uitleggen wat de kans is.
•Je kunt uitleggen hoe het vaasmodel werkt.
•Je kunt uitleggen wat de kansverdeling is.
•Je kunt uitleggen wat de verwachtingswaarde is.
Kans
Wiskundig gezien kun je kans aanduiden met hoofdletter P(x) of p. Kans is altijd gunstig (wat je wilt) gedeeld door het totaal aantal mogelijkheden. Het resultaat wordt meestal weergegeven als een breuk, een decimaal of een percentage. Let op, de kans ligt altijd tussen 0 en 1. Onthoud dat als je bijvoorbeeld een kans hebt van 24%, dit 0,24 is als decimaal, wat tussen 0 en 1 valt.
De formule van kans:
Het resultaat is altijd:
Theoretische en empirische kansen
Er zijn twee hoofdtypen van kansen die we kunnen berekenen: theoretische kans (ook wel een 'weetkans' genoemd) en empirische kans (ook wel 'zweetkans' genoemd).
Een theoretische kans gebruikt telproblemen - theoretische modellen of formules - om de kans te berekenen, terwijl een empirische kans gebaseerd is op waarnemingen of experimenten.
Neem bijvoorbeeld het gooien van twee dobbelstenen en het optellen van de resultaten. De theoretische kans om 6 te gooien kan worden berekend met een tabel, terwijl de empirische kans om 6 te gooien kan worden gevonden door duizend keer te gooien en te tellen hoe vaak je een 6 gooit.
Kansberekening met het vaasmodel
Het vaasmodel is een veelgebruikt model in kansrekening. Stel je voor dat je verschillende gekleurde knikkers in een vaas hebt en je kiest blindelings een aantal knikkers. Dit model kan worden gebruikt om complexere kansproblemen op te lossen. Er zijn twee manieren om dit model te gebruiken: met terugleggen en zonder terugleggen. De keuze hangt af van of de gekozen knikker weer terug in de vaas wordt gelegd of niet voordat de volgende knikker wordt gekozen.
Met terugleggen: machtsboom
Je hebt een vaas met 20 knikkers. 4 zijn wit, 7 zijn rood, 8 zijn blauw en 1 is geel. Je pakt 5 keer een knikker, noteert de kleur en legt hem terug. Hier krijg je een machtsboom.
Als we bijvoorbeeld de kans op 5 keer rood pakken willen berekenen, gaat dat als volgt:
P(5 x R) =
We kunnen ook kijken naar de kans op twee keer blauw en drie keer rood.
P(2 x B en 3 x R) =
Zonder terugleggen: faculteitsboom
Als je nu weer de kans wil berekenen dat je 5 keer een rode knikker pakt, gaat dit anders dan bij het geval met terugleggen. Als je nu een knikker uit de vaas haalt, dan doe je deze niet meer terug. Als je dus één knikker hebt gepakt en je wilt de tweede knikker pakken, zitten er nog maar 19 knikkers in de vaas in plaats van 20. Nu is dus P(5 x R) =
Als we nu kijken naar de kans op twee keer blauw en drie keer rood, krijgen we:
P(2 x B en 3 x R) =
Laplace-methode
De Laplace-methode is een andere handige techniek voor het berekenen van kansen. Het bestaat uit het berekenen van de kans door het aantal gunstige uitkomsten (combinaties) te delen door het totaal aantal mogelijke uitkomsten. Als we dus weer P(5 x R) willen berekenen delen we 7nCr5 door 20nCr5. 7nCr5 geeft namelijk weer dat we 7 rode knikkers hebben waarvan we er 5 pakken. 20nCr5 geeft weer dat we in totaal 20 knikkers hebben waarvan we er 5 pakken.
Dit resulteert in P(5 x R) =
Bij het kijken naar de kans op twee keer blauw en drie keer rood krijgen we:
P(2 x B en 3 x R) =
Begrijpen van kansverdelingen
Een kansverdeling is een tabel die de mogelijke uitkomsten van een experiment - de zogenaamde stochasten of toevalsvariabelen - laat zien, en de bijbehorende kansen voor elke uitkomst.
We kijken naar het gooien van drie 4-zijdige dobbelstenen. Bij het gooien van zo'n dobbelsteen kan je dus de waarde 1, 2, 3 of 4 krijgen. Je gooit drie van zulke dobbelstenen en telt de uitkomsten bij elkaar op. Wat je kunt krijgen, noemen we de toevalsvariabele, oftewel de stochast of X. In dit geval kan de stochast de waarde 3 tot en met 12 aannemen.
De kansverdeling is hier goed weer te geven in een tabel. In de tabel wordt per waarde van de stochast bekeken op hoeveel manieren die waarde gegooid kan worden.
Als je de waardes in de rechterkolom bij elkaar optelt, komt er altijd 1 uit (som P(X=x) = 1). Dit komt door de voorwaarde:
Berekenen van de verwachtingswaarde
De verwachtingswaarde geeft aan wat de gemiddelde uitkomst zou zijn als we het experiment vele keren zouden herhalen. Het wordt berekend door elke stochast te vermenigvuldigen met zijn corresponderende kans. In de tabel hieronder is de verwachtingswaarde is de som van alle waarden in die kolom.
