Hoe werkt de nCr formule bij kansberekening?

De nCr formule, ook wel combinaties genoemd en genoteerd als $\binom{n}{r}$, wordt gebruikt in kansberekening om het aantal manieren te bepalen waarop je een bepaald aantal items ($r$) kunt kiezen uit een grotere groep ($n$), zonder dat de volgorde van belang is.

Hoe werkt de nCr formule? De formule voor combinaties is: $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ Waarbij:

• $n$ het totale aantal beschikbare items of trekkingen is.
• $r$ het aantal items is dat je kiest of het aantal keren dat een specifieke gebeurtenis plaatsvindt.
• $!$ staat voor de faculteit, wat betekent dat je alle hele getallen van 1 tot dat getal met elkaar vermenigvuldigt (bijvoorbeeld $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$).

Voorbeeld: Gebruik van 5nCr3 bij kansberekening Stel je voor dat je 5 keer een knikker pakt uit een vaas (met terugleggen) en je wilt weten wat de kans is op 2 blauwe en 3 rode knikkers. De term $5nCr3$ (of $\binom{5}{3}$) helpt je hierbij.

1. Bereken de kans voor één specifieke volgorde: Stel dat de kans op een blauwe knikker $\frac{8}{20}$ is en de kans op een rode knikker $\frac{7}{20}$. De kans op een specifieke volgorde, bijvoorbeeld Blauw, Blauw, Rood, Rood, Rood (BBRRR), is: $(\frac{8}{20})^2 \cdot (\frac{7}{20})^3$

2. Bereken het aantal mogelijke volgordes met nCr: De 2 blauwe en 3 rode knikkers kunnen in veel verschillende volgordes verschijnen (bijvoorbeeld BRBRR, RRBBR, enzovoort). De $5nCr3$ vertelt je op hoeveel manieren je 3 'plekken' kunt kiezen uit de 5 totale trekkingen voor de rode knikkers. De overige 2 plekken zijn dan automatisch voor de blauwe knikkers. $5nCr3 = \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10$ Dit betekent dat er 10 verschillende volgordes zijn waarin je 2 blauwe en 3 rode knikkers kunt trekken.

3. Bereken de totale kans: Om de totale kans op 2 blauwe en 3 rode knikkers te krijgen, vermenigvuldig je de kans van één specifieke volgorde met het aantal mogelijke volgordes: Totale kans = $(\frac{8}{20})^2 \cdot (\frac{7}{20})^3 \cdot \binom{5}{3}$

Hoe bepaal je welke getallen je invult voor $n$ en $r$?

• Het bovenste getal ($n$) staat altijd voor het totale aantal trekkingen of het totale aantal 'plekken' dat je hebt. In het voorbeeld van de knikkers is dit 5, omdat je 5 keer een knikker pakt.
• Het onderste getal ($r$) staat voor het aantal keer dat een specifieke gebeurtenis plaatsvindt. In het voorbeeld kun je kiezen:
  • Je kiest 3 plekken uit de 5 voor de rode knikkers: $\binom{5}{3}$.
  • Of je kiest 2 plekken uit de 5 voor de blauwe knikkers: $\binom{5}{2}$.

Het mooie is dat deze twee berekeningen precies hetzelfde resultaat geven! Dit komt door de eigenschap van combinaties: $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$

In ons voorbeeld: $\binom{5}{3} = \binom{5}{5-3} = \binom{5}{2}$

Beide berekeningen leveren 10 op. Het maakt dus niet uit of je het aantal van de rode knikkers (3) of het aantal van de blauwe knikkers (2) kiest als het onderste getal ($r$), zolang het totale aantal trekkingen (5) maar bovenaan staat als $n$.