Normale verdeling 1

Om het concept van de normale verdeling in beeld te brengen, halen we een illustratief voorbeeld aan van een vulmachine in een frisdrankenfabriek. Deze machine vult flessen razendsnel, maar door deze hoge snelheid is er ook ruimte voor onnauwkeurigheid. Het is namelijk zo dat niet elke fles precies even vol wordt gevuld. Als we hiervan een histogram zouden maken en er een lijn doorheen zouden trekken, dan krijgen we een klokvorm. Dit is de weergave van een normale verdeling.

Je ziet op de horizontale as de inhoud van de flessen, terwijl de verticale as aangeeft hoeveel flessen er zijn met die specifieke inhoud.

Het gemiddelde, standaarddeviatie en de vuistregels

Het gemiddeld aantal liters in de flessen is 1,55 liter, terwijl de flessen eigenlijk gelabeld zijn als 1,5 liter flessen. Deze normale verdeling is symmetrisch rond het gemiddelde, wat betekent dat 50% van de flessen minder dan het gemiddelde bevat en 50% meer dan het gemiddelde – dit maakt het gemiddelde tevens de mediaan. Op basis van de klokvorm, kun je de mate van afwijking van het gemiddelde berekenen. Deze afwijking wordt ook wel de standaarddeviatie genoemd. Bij de normale verdeling gelden de volgende vuistregels:

•bij één keer de standaarddeviatie naar links én naar rechts vanaf het gemiddelde, valt daar ± 68% van alle waarnemingen binnen;

•bij twee keer de standaarddeviatie naar links én naar rechts vanaf het gemiddelde, valt daar ± 95% van alle waarnemingen binnen.

Bij drie keer de standaarddeviatie naar links én naar rechts vanaf het gemiddelde, omvat bijna 100% van de waarnemingen.

Oppervlakte en grenswaarden berekenen

Op basis van bovenstaande vuistregels kun je ook de oppervlakte berekenen onder de kromme van de normale verdeling. Dit wordt vaak gedaan om het percentage te achterhalen voor een bepaald bereik, bijvoorbeeld hoeveel flessen te weinig gevuld zijn of hoeveel er juist te vol zitten en daarmee de kans op overstromen vergroten. Wanneer je een bepaald percentage weet, kun je weer de grenswaarde berekenen via de inverse functie van de normale verdeling.

Gebruik van de grafische rekenmachine

Voor deze berekeningen maak je gebruik van een grafische rekenmachine. Bij een Texas Instruments rekenmachine bijvoorbeeld, gebruik je de functie normalcdf voor het berekenen van de oppervlakte en de functie invNorm of inverse norm om de grenswaarden te berekenen op basis van een bekend percentage. Bij een Casio rekenmachine gebruik je respectievelijk de functies Ncd en invN.

Je vult bij de normalcdf alle bekende waardes in. Zo vul je het volgende in: normalcdf(l,r,μ,σ). l is de linker grens, r is de rechter grens, μ is het gemiddelde en σ is de standaardafwijking.

In het voorbeeld van bovenstaande afbeelding is de vraag hoeveel procent van de flessen zal overstromen. Gegeven is de het gemiddelde μ = 1,55 en de standaardafwijking σ = 0,03. Dit kunnen we invullen in de normalcdf(l,r,μ,σ) functie. Als linker grens nemen we 1,62 en als rechter grens nemen we eigenlijk oneindig. Dit vullen we in door r = 1∙10⁹⁹. We krijgen dan normalcdf(1,62, 1∙10⁹⁹, 1,55, 0,03) = 0,00981.. ≈ 1,0 %

Ook is de grafische rekenmachine te gebruiken als we de grenswaarden moeten berekenen. Dit doen we met behulp van de invNorm functie. Bij deze functies moet je ook de gegevens invullen: invNorm(area, μ,σ, L/C/R). Area is het gebied waar het om gaat, μ is het gemiddelde, σ is de standaardafwijking en met L/C/R geef je aan of het gebied links, in het midden of rechts zit.

In bovenstaande afbeelding is de vraag wat de inhoud is van de volste fles van de 85% minst volle flessen? We zijn dus op zoek naar de met groen aangegeven grenswaarde. We gebruiken hier dus de invNorm(area, μ,σ, L/C/R) functie en gaan deze invullen. Dit geeft ons invNorm(0,85, 1,55, 0,03, L) = 1,58109.. ≈ 1,58 liter

Stappenplan: werken met de normale verdeling

Voor het goed toepassen van het concept van de normale verdeling kun je het volgende stappenplan hanteren:

1.Stel vast of de gegevens normaal verdeeld zijn.

2.Schets de klokvorm

3.Noteer de waarden voor de linkergrens, rechtergrens, gemiddelde, standaarddeviatie of oppervlakte, en markeer de waarden die je zoekt met een vraagteken.

4.Kijk of je het antwoord kunt vinden met de vuistregels.

5.Als de vuistregels niet voldoen, gebruik dan de grafische rekenmachine om de berekeningen uit te voeren.

6.Beschrijf de berekeningen die je uitvoert op de rekenmachine, zodat je kunt zien wat je hebt gedaan.

7.Geef de conclusies van je berekeningen.