Hoe bereken je kansen met de normale verdeling?

Het berekenen van kansen met de normale verdeling omvat verschillende stappen en functies, afhankelijk van wat je wilt berekenen. De normale verdeling wordt gekenmerkt door een gemiddelde ($\mu$) en een standaardafwijking ($\sigma$).

1. Kans berekenen voor een interval ($P(a < X < b)$, $P(X < a)$, $P(X > a)$) Om de kans te berekenen dat een waarde $X$ binnen een bepaald bereik valt, gebruik je de normalcdf (of normCdf) functie op je grafische rekenmachine (GR).

De algemene vorm is: normalcdf(ondergrens, bovengrens, gemiddelde, standaardafwijking)

• Voorbeeld: Kans dat $X$ tussen twee waarden ligt ($P(a < X < b)$) Stel, de productietijd is normaal verdeeld met een gemiddelde ($\mu$) van 3780 seconden en een standaardafwijking ($\sigma$) van 125 seconden. Je wilt de kans berekenen dat de productietijd tussen 3540 en 4020 seconden ligt. Je voert in: normalcdf(3540, 4020, 3780, 125) De uitkomst is de kans, bijvoorbeeld 0,945.

• Voorbeeld: Kans dat $X$ kleiner is dan een waarde ($P(X < a)$) Als je de kans wilt weten dat $X$ kleiner is dan 3540 seconden, gebruik je een zeer kleine ondergrens (bijvoorbeeld -1E99, wat staat voor -1 * 10^99): Je voert in: normalcdf(-1E99, 3540, 3780, 125)

• Voorbeeld: Kans dat $X$ groter is dan een waarde ($P(X > a)$) Als je de kans wilt weten dat $X$ groter is dan 4020 seconden, gebruik je een zeer grote bovengrens (bijvoorbeeld 1E99, wat staat voor 1 * 10^99): Je voert in: normalcdf(4020, 1E99, 3780, 125)

2. Een grenswaarde of z-score vinden bij een gegeven kans Als je de kans weet en een grenswaarde ($X$) of de standaardafwijking ($\sigma$) wilt vinden, gebruik je de invNorm (inverse normale verdeling) functie. Deze functie berekent de waarde $X$ (of z-score) waarvoor een bepaald percentage van de data eronder ligt.

De algemene vorm is: invNorm(cumulatieve_kans, gemiddelde, standaardafwijking)

• Voorbeeld: Een z-score vinden bij een gegeven kans Stel, 30% van de artikelen wijkt meer dan 2,5 minuut af van het gemiddelde. Door symmetrie betekent dit dat 15% van de artikelen minder is dan de ondergrens. We zoeken de z-score die hoort bij een cumulatieve kans van 0,15. Je gebruikt de standaard normale verdeling (met $\mu = 0$ en $\sigma = 1$): Je voert in: invNorm(0.15, 0, 1) De uitkomst is de z-score, bijvoorbeeld -1,0364.

• De z-score formule gebruiken om $\sigma$ te vinden De z-score formule is: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

  Deze formule kun je omschrijven om de standaardafwijking ($\sigma$) te vinden: $\sigma = \frac{X - \mu}{Z}$

  Als we het voorbeeld van hierboven gebruiken, waarbij de ondergrens $X = 3630$ seconden, het gemiddelde $\mu = 3780$ seconden en de z-score $Z = -1,0364$: $\sigma = \frac{3630 - 3780}{-1,0364} = \frac{-150}{-1,0364} \approx 144,73$ seconden.

3. Omgaan met eenheden en interpretatie Zorg er altijd voor dat alle waarden (gemiddelde, standaardafwijking, grenswaarden) in dezelfde eenheid staan (bijvoorbeeld allemaal in seconden of allemaal in minuten). Interpreteer de vraag goed:

• "minder dan X afwijkt van het gemiddelde" betekent een interval rond het gemiddelde.
• "meer dan X afwijkt van het gemiddelde" betekent de twee staarten van de verdeling.
• "minstens X" of "hoogstens X" verwijst naar cumulatieve kansen.

Door deze stappen en functies te gebruiken, kun je diverse kansberekeningen uitvoeren met de normale verdeling.