Hoe bereken je de standaardafwijking met de normale verdeling?

Om de standaardafwijking ($\sigma$) van een normaal verdeelde dataset te berekenen wanneer je het gemiddelde ($\mu$) en een bepaalde kans of percentage kent, volg je meestal de volgende stappen:

1. Zet alle gegevens om naar dezelfde eenheid: Zorg ervoor dat het gemiddelde, de grenswaarde en de standaardafwijking (als die al deels bekend is) in dezelfde eenheid staan (bijvoorbeeld allemaal in seconden, of allemaal in percentages).

2. Interpreteer de gegeven kans of het percentage: Bepaal welke kans hoort bij welke grenswaarde.

   • Als je bijvoorbeeld weet dat 15% van de waarnemingen minder is dan een bepaalde waarde ($X$), dan is $P(X < \text{grenswaarde}) = 0,15$.
   • Als je weet dat 20% van de waarnemingen meer is dan een bepaalde waarde ($X$), dan is $P(X > \text{grenswaarde}) = 0,20$. Voor de invNorm-functie moet je dit omzetten naar een cumulatieve kans vanaf de linkerkant: $P(X \le \text{grenswaarde}) = 1 - 0,20 = 0,80$.

3. Bereken de z-score met invNorm: Gebruik de invNorm-functie op je grafische rekenmachine om de z-score te vinden die hoort bij de cumulatieve kans die je in stap 2 hebt bepaald. Je gebruikt hierbij de standaard normale verdeling met een gemiddelde van 0 en een standaardafwijking van 1.

   • Formule: invNorm(cumulatieve_kans, 0, 1)
   • Voorbeeld: Als $P(X \le \text{grenswaarde}) = 0,80$, dan voer je in: invNorm(0.80, 0, 1). De uitkomst is de z-score.

4. Gebruik de z-score formule om $\sigma$ te vinden: De formule voor de z-score is: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ Hierin is:

   • $Z$ de z-score die je in stap 3 hebt berekend.
   • $X$ de grenswaarde waar de kans op gebaseerd is.
   • $\mu$ het gemiddelde van de dataset.
   • $\sigma$ de standaardafwijking die je wilt berekenen.

   Je kunt deze formule omschrijven om $\sigma$ te isoleren: $\sigma = \frac{X - \mu}{Z}$

5. Voer de berekening uit: Vul de waarden voor $X$, $\mu$ en $Z$ in de omgeschreven formule in en bereken $\sigma$.

Voorbeeld: Stel, het gemiddelde kopergehalte ($\mu$) van sierkannetjes is 68%. Van elke 100 kannetjes hebben er 9 een kopergehalte van meer dan 70%. Bereken de standaardafwijking ($\sigma$).

1. Eenheden: Alles is al in percentages, dus geen omzetting nodig. $\mu = 68\%$ Grenswaarde $X = 70\%$

2. Kans interpreteren: "9 van elke 100 kannetjes hebben een kopergehalte van meer dan 70%". Dit betekent $P(X > 70\%) = \frac{9}{100} = 0,09$. Voor invNorm hebben we de cumulatieve kans vanaf links nodig: $P(X \le 70\%) = 1 - P(X > 70\%) = 1 - 0,09 = 0,91$.

3. Z-score berekenen: invNorm(0.91, 0, 1) De z-score ($Z$) is ongeveer $1,34075$.

4. $\sigma$ berekenen met de formule: $\sigma = \frac{X - \mu}{Z}$ $\sigma = \frac{70 - 68}{1,34075}$ $\sigma = \frac{2}{1,34075}$

5. Uitkomst: $\sigma \approx 1,491696805$ De standaardafwijking is dus ongeveer 1,49%.