Hoe bereken je kansen met de binomiale verdeling?

De binomiale verdeling helpt je om de kans te berekenen op een specifiek aantal 'successen' in een vast aantal herhalingen van een experiment, waarbij elke herhaling slechts twee mogelijke uitkomsten heeft (succes of mislukking) en de kans op succes bij elke herhaling hetzelfde is.

Om kansen te berekenen met de binomiale verdeling, heb je drie dingen nodig:

1. n: Het totale aantal herhalingen (of proeven).
2. k: Het aantal successen waarin je geïnteresseerd bent.
3. p: De kans op succes bij één enkele herhaling.

De formule voor het berekenen van de kans op precies $k$ successen in $n$ herhalingen is:

$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Hierin staat:

• $P(X=k)$ voor de kans op precies $k$ successen.
• $\binom{n}{k}$ voor het aantal manieren om $k$ successen te kiezen uit $n$ herhalingen. Dit wordt berekend als $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• $p^k$ voor de kans op $k$ successen.
• $(1-p)^{n-k}$ voor de kans op $n-k$ mislukkingen.

Voorbeeld: Stel, je gooit 10 keer met een eerlijke munt ($n=10$). De kans op 'kop' (succes) is $p=0,5$. Je wilt weten wat de kans is dat je precies 7 keer kop gooit ($k=7$).

$P(X=7) = \binom{10}{7} \cdot (0,5)^7 \cdot (1-0,5)^{10-7}$ $P(X=7) = \binom{10}{7} \cdot (0,5)^7 \cdot (0,5)^3$ $P(X=7) = 120 \cdot 0,0078125 \cdot 0,125$ $P(X=7) = 0,1171875$

De kans dat je precies 7 keer kop gooit, is dus ongeveer 11,72%.

Gebruik van je grafische rekenmachine (GR): Je kunt deze kansen ook snel berekenen met je GR:

• binompdf(n, p, k): Gebruik deze functie als je de kans wilt berekenen op precies $k$ successen.

  • Voorbeeld: Voor $P(X=7)$ bij $n=10, p=0,5$: binompdf(10, 0.5, 7) geeft $\approx 0,1172$.

• binomcdf(n, p, k): Gebruik deze functie als je de cumulatieve kans wilt berekenen, dus de kans op maximaal $k$ successen (dat wil zeggen $P(X \le k)$).

  • Voorbeeld: Voor de kans op maximaal 7 keer kop bij $n=10, p=0,5$: binomcdf(10, 0.5, 7) geeft $P(X \le 7) \approx 0,9453$.

Als je de kans op 'minstens' of 'meer dan' een bepaald aantal successen wilt berekenen, kun je binomcdf gebruiken in combinatie met de complementregel:

• $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)$
• $P(X > k) = 1 - P(X \le k)$

Voorbeeld: Wat is de kans dat je minstens 8 keer kop gooit bij 10 worpen met een eerlijke munt? ($P(X \ge 8)$) $P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7)$ Met je GR: 1 - binomcdf(10, 0.5, 7) geeft $1 - 0,9453 \approx 0,0547$.