Hoe voer je een hypothesetoets uit met een binomiale verdeling?

Een hypothesetoets met een binomiale verdeling gebruik je om te bepalen of een waargenomen aantal successen in een steekproef significant afwijkt van wat je zou verwachten onder een bepaalde aanname (de nulhypothese). Dit proces bestaat uit verschillende stappen:

Stap 1: Bepaal de toetsingsgrootheid ($X$) en stel de hypothesen op ($H_0$ en $H_1$)

1. Toetsingsgrootheid ($X$): Dit is het aantal 'successen' in je steekproef. Een succes is de gebeurtenis waarin je geïnteresseerd bent.

   • Voorbeeld: Als je onderzoekt hoe vaak een dobbelsteen op een krokodil met kiespijn terechtkomt, is $X$ het aantal keren dat de dobbelsteen op de krokodil met kiespijn valt.
   • Voorbeeld: Als je onderzoekt hoeveel pakketten een ontbrekend onderdeel hebben, is $X$ het aantal pakketten met een ontbrekend onderdeel.

2. Nulhypothese ($H_0$): Dit is de aanname die je wilt testen. Vaak is dit de 'standaard' of 'geen effect'-situatie. Voor een binomiale verdeling stel je $H_0$ op als een specifieke kans $p$.

   • Formaat: $H_0: p = \text{waarde}$
   • Voorbeeld: Als een dobbelsteen eerlijk is, is de kans op de krokodil met kiespijn 1 op 6. Dus, $H_0: p = \frac{1}{6}$.
   • Voorbeeld: Als de manager beweert dat hoogstens 2% van de pakketten een onderdeel mist, dan is de grenswaarde $p=0.02$. Dus, $H_0: p = 0.02$.

3. Alternatieve hypothese ($H_1$): Dit is wat je vermoedt als de nulhypothese niet waar is. $H_1$ kan eenzijdig (groter dan of kleiner dan) of tweezijdig (niet gelijk aan) zijn.

   • Eenzijdige toets (rechts): Je vermoedt dat de kans groter is dan onder $H_0$.
     • Formaat: $H_1: p > \text{waarde}$
     • Voorbeeld: Als je vermoedt dat de dobbelsteen te vaak op de krokodil met kiespijn terechtkomt: $H_1: p > \frac{1}{6}$.
     • Voorbeeld: Als je vermoedt dat het percentage ontbrekende onderdelen hoger is dan 2%: $H_1: p > 0.02$.
   • Eenzijdige toets (links): Je vermoedt dat de kans kleiner is dan onder $H_0$.
     • Formaat: $H_1: p < \text{waarde}$
   • Tweezijdige toets: Je vermoedt dat de kans anders is dan onder $H_0$ (zowel groter als kleiner).
     • Formaat: $H_1: p \neq \text{waarde}$
     • Voorbeeld: Als je vermoedt dat een kans verandert of afwijkt van 0.3: $H_1: p \neq 0.3$.

Stap 2: Bepaal het model en het significantieniveau ($\alpha$)

1. Model: De toetsingsgrootheid $X$ volgt een binomiale verdeling onder de nulhypothese.

   • Formaat: $X \sim B(n, p)$
   • Hierin is $n$ de steekproefomvang (het totale aantal herhalingen) en $p$ is de kans op succes onder de nulhypothese ($H_0$).
   • Voorbeeld: Bij 50 worpen met een dobbelsteen en $H_0: p = \frac{1}{6}$: $X \sim B(50, \frac{1}{6})$.
   • Voorbeeld: Bij een steekproef van 40 pakketten en $H_0: p = 0.02$: $X \sim B(40, 0.02)$.

2. Significantieniveau ($\alpha$): Dit is de maximale kans op een fout van de eerste soort die je accepteert. Meestal is $\alpha = 0.05$ (5%).

   • Bij een tweezijdige toets verdeel je $\alpha$ over de twee staarten, dus elke staart krijgt $\frac{\alpha}{2}$.

Stap 3: Bereken de p-waarde of bepaal het kritieke gebied

Je kunt de conclusie trekken op basis van de p-waarde of door het kritieke gebied te bepalen.

Methode A: P-waarde berekenen

De p-waarde is de kans op het waargenomen resultaat (of een nog extremere uitkomst) onder de aanname dat de nulhypothese waar is.

1. Waargenomen waarde: Noteer de waarde van $X$ die je in je steekproef hebt gevonden.
2. P-waarde berekenen:
   • Bij $H_1: p > \text{waarde}$ (rechtszijdige toets): Bereken $P(X \ge \text{waargenomen waarde} | H_0)$.
     • Voorbeeld: Je gooit 11 keer de krokodil met kiespijn bij $X \sim B(50, \frac{1}{6})$. $P(X \ge 11 | p = \frac{1}{6}) = 1 - P(X \le 10 | p = \frac{1}{6}) \approx 1 - 0.8201 = 0.1799$.
   • Bij $H_1: p < \text{waarde}$ (linkszijdige toets): Bereken $P(X \le \text{waargenomen waarde} | H_0)$.
   • Bij $H_1: p \neq \text{waarde}$ (tweezijdige toets): Bereken de kans op de waargenomen waarde in de staart waar deze zich bevindt, en vermenigvuldig deze met 2 (als de verdeling symmetrisch genoeg is). Of bepaal de kans op een afwijking in beide richtingen.

Methode B: Kritieke gebied bepalen

Het kritieke gebied bestaat uit de waarden van $X$ waarvoor je de nulhypothese zou verwerpen.

1. Eenzijdige toets (rechts, $H_1: p > \text{waarde}$): Zoek de kleinste waarde $k$ waarvoor geldt $P(X \ge k | H_0) \le \alpha$.
   • Voorbeeld: Bij $X \sim B(50, \frac{1}{6})$ en $\alpha = 0.05$:
     • $P(X \ge 11) \approx 0.1799$
     • $P(X \ge 12) \approx 0.0920$
     • $P(X \ge 13) \approx 0.0415$ Het kritieke gebied is $X \ge 13$.
2. Eenzijdige toets (links, $H_1: p < \text{waarde}$): Zoek de grootste waarde $k$ waarvoor geldt $P(X \le k | H_0) \le \alpha$.
3. Tweezijdige toets ($H_1: p \neq \text{waarde}$): Zoek twee waarden, $k_1$ en $k_2$.
   • Zoek de grootste $k_1$ waarvoor $P(X \le k_1 | H_0) \le \frac{\alpha}{2}$.
   • Zoek de kleinste $k_2$ waarvoor $P(X \ge k_2 | H_0) \le \frac{\alpha}{2}$.
   • Het kritieke gebied is dan $X \le k_1$ of $X \ge k_2$.
   • Voorbeeld: Bij $X \sim B(100, 0.3)$ en $\alpha = 0.05$ ($\frac{\alpha}{2} = 0.025$):
     • $P(X \le 23 | p=0.3) \approx 0.0179$ (dus $k_1 = 23$)
     • $P(X \ge 38 | p=0.3) \approx 0.0123$ (dus $k_2 = 38$) Het kritieke gebied is $X \le 23$ of $X \ge 38$.

Stap 4: Trek een conclusie

1. Met p-waarde:

   • Als de p-waarde $\le \alpha$, verwerp je de nulhypothese ($H_0$). Er is voldoende bewijs voor de alternatieve hypothese ($H_1$).
   • Als de p-waarde $> \alpha$, verwerp je de nulhypothese ($H_0$) niet. Er is onvoldoende bewijs voor de alternatieve hypothese ($H_1$).
   • Voorbeeld: P-waarde van 0.1799 is $> 0.05$. Verwerp $H_0$ niet. Er is onvoldoende bewijs dat de dobbelsteen te vaak op de krokodil met kiespijn terechtkomt.

2. Met kritieke gebied:

   • Als de waargenomen waarde van $X$ in het kritieke gebied valt, verwerp je de nulhypothese ($H_0$).
   • Als de waargenomen waarde van $X$ niet in het kritieke gebied valt, verwerp je de nulhypothese ($H_0$) niet.
   • Voorbeeld: Je gooit 11 keer de krokodil met kiespijn. Het kritieke gebied is $X \ge 13$. Omdat 11 niet in het kritieke gebied valt, verwerp je $H_0$ niet.

Fout van de eerste soort

Een fout van de eerste soort treedt op wanneer je de nulhypothese ($H_0$) verwerpt, terwijl deze in werkelijkheid waar is. De kans op een fout van de eerste soort is gelijk aan het significantieniveau $\alpha$.

• Voorbeeld: Als $H_0: p = 0.3$ en $H_1: p < 0.3$, en je verwerpt $H_0$ als $X \le 20$ bij $n=100$. De kans op een fout van de eerste soort is $P(X \le 20 | p = 0.3) \approx 0.0127$.

Door deze stappen te volgen, kun je systematisch een hypothesetoets uitvoeren met een binomiale verdeling.