Hoe bereken je binomiale kansen als de succeskans uit percentages bestaat?

Om binomiale kansen te berekenen wanneer de succeskans ($p$) als percentage wordt gegeven, moet je dit percentage eerst omzetten naar een decimaal getal. De rest van de stappen voor het berekenen van de kans blijven hetzelfde als bij elke andere binomiale kansberekening.

De algemene formule voor het berekenen van de kans op precies $k$ successen in $n$ herhalingen is:

$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Hierin staat:

• $P(X=k)$ voor de kans op precies $k$ successen.
• $\binom{n}{k}$ voor het aantal manieren om $k$ successen te kiezen uit $n$ herhalingen.
• $p$ voor de kans op succes bij één enkele herhaling (als decimaal).
• $(1-p)$ voor de kans op mislukking bij één enkele herhaling.
• $n$ voor het totale aantal herhalingen.
• $k$ voor het aantal successen waarin je geïnteresseerd bent.

Stappenplan:

1. Bepaal $n$ (totaal aantal pogingen): Dit is het totale aantal keren dat het experiment wordt uitgevoerd.
2. Bepaal $p$ (kans op succes per poging): Als $p$ als percentage wordt gegeven, deel je het percentage door 100 om het om te zetten naar een decimaal. Bijvoorbeeld, 12% wordt 0,12.
3. Bepaal $k$ (aantal gewenste successen): Dit is het specifieke aantal successen waarop je de kans wilt berekenen.
4. Vul de waarden in de formule in: Gebruik de formule voor de binomiale verdeling.
5. Bereken de kans: Dit kan handmatig of met een grafische rekenmachine (GR) met functies zoals binompdf(n, p, k).

Voorbeeld: Stel, er worden 60 auto's gecontroleerd ($n=60$). Je wilt de kans berekenen dat een kwart van deze automobilisten een snelheid heeft tussen 100 en 120 km/uur. Uit eerdere gegevens blijkt dat 12% van de automobilisten in deze snelheidsrange valt.

1. $n$ (totaal aantal pogingen): Er worden 60 auto's gecontroleerd, dus $n = 60$.
2. $p$ (kans op succes per poging): De kans op een snelheid tussen 100 en 120 km/uur is 12%. Omgezet naar een decimaal is dit $p = 0,12$.
3. $k$ (aantal gewenste successen): Een kwart van de automobilisten is $0,25 \times 60 = 15$. Dus $k = 15$.

Nu vul je deze waarden in de formule in: $P(X=15) = \binom{60}{15} \cdot (0,12)^{15} \cdot (1-0,12)^{60-15}$ $P(X=15) = \binom{60}{15} \cdot (0,12)^{15} \cdot (0,88)^{45}$

Met een grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met binompdf(60, 0.12, 15)) kun je deze kans berekenen. De uitkomst is ongeveer $0,011$.

Dit betekent dat de kans dat precies 15 van de 60 gecontroleerde auto's een snelheid hebben tussen 100 en 120 km/uur ongeveer 1,1% is.