Hoe bereken je het aantal mogelijkheden om objecten te kiezen en te kleuren?

Om het aantal mogelijkheden te berekenen om objecten te kiezen en vervolgens te kleuren, volg je meestal twee stappen: eerst bepaal je het aantal manieren om de objecten te selecteren, en daarna het aantal manieren om de kleuren toe te wijzen. Dit is een combinatie van combinaties en permutaties.

Laten we het voorbeeld gebruiken van 10 rechthoeken waarvan er 4 gekleurd moeten worden met rood, geel, blauw en zwart, waarbij elke kleur precies één keer wordt gebruikt en de overige rechthoeken wit blijven.

Stap 1: Bepaal het aantal manieren om de objecten te kiezen (selectie zonder volgorde). Eerst moet je bepalen welke 4 van de 10 rechthoeken gekleurd gaan worden. De volgorde waarin je deze 4 rechthoeken kiest, maakt niet uit; het gaat alleen om de groep van 4 die geselecteerd wordt. Hiervoor gebruik je de combinatieformule:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Waarbij:

• $n$ = het totale aantal objecten waaruit je kiest (in dit geval 10 rechthoeken).
• $k$ = het aantal objecten dat je kiest (in dit geval 4 rechthoeken).
• $!$ = faculteit (bijvoorbeeld $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$).

Berekening voor het kiezen van 4 rechthoeken uit 10: $\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!}$ $\binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}$ $\binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$ $\binom{10}{4} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

Er zijn dus 210 manieren om de 4 rechthoeken te kiezen die gekleurd worden.

Stap 2: Bepaal het aantal manieren om de kleuren toe te wijzen (permutatie met volgorde). Nu je de 4 rechthoeken hebt gekozen, moet je de 4 unieke kleuren (rood, geel, blauw, zwart) over deze 4 rechthoeken verdelen. Hierbij is de volgorde wel van belang, want een rode rechthoek op de eerste gekozen plek en een gele op de tweede is anders dan een gele op de eerste en een rode op de tweede. Hiervoor gebruik je permutaties, specifiek $k!$ wanneer je $k$ unieke items over $k$ posities verdeelt.

Berekening voor het verdelen van 4 kleuren over 4 gekozen rechthoeken: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Er zijn dus 24 manieren om de 4 kleuren over de 4 gekozen rechthoeken te verdelen.

Stap 3: Combineer de resultaten. Om het totale aantal mogelijkheden te vinden, vermenigvuldig je de resultaten van Stap 1 en Stap 2:

Totaal aantal mogelijkheden = (manieren om rechthoeken te kiezen) $\times$ (manieren om kleuren te verdelen) Totaal aantal mogelijkheden = $210 \times 24 = 5040$

Er zijn dus 5040 mogelijkheden om de rechthoeken te kiezen en te kleuren volgens de gegeven voorwaarden.