Hoe bereken je de kwartielafstand?

De kwartielafstand is een spreidingsmaat die aangeeft hoe de middelste 50% van je gegevens verdeeld is. Het is minder gevoelig voor extreme uitschieters (uitbijters) dan bijvoorbeeld de spreidingsbreedte. Om de kwartielafstand te berekenen, volg je de volgende stappen:

1. Bereken de totale frequentie (het totale aantal waarnemingen): Tel alle frequenties bij elkaar op om het totale aantal gegevenspunten ($n$) te vinden.
2. Bepaal de mediaan (Q2): Dit is het middelste waarnemingsgetal.
   • Als $n$ oneven is, is de mediaan het $\frac{n+1}{2}$-de waarnemingsgetal.
   • Als $n$ even is, is de mediaan het gemiddelde van het $\frac{n}{2}$-de en het $(\frac{n}{2}+1)$-de waarnemingsgetal.
3. Bepaal het eerste kwartiel (Q1): Dit is de mediaan van de eerste helft van de waarnemingsgetallen.
   • Als $n$ oneven is, laat je de mediaan (Q2) buiten beschouwing en neem je de mediaan van de resterende $\frac{n-1}{2}$ waarnemingsgetallen in de eerste helft.
   • Als $n$ even is, neem je de mediaan van de eerste $\frac{n}{2}$ waarnemingsgetallen.
4. Bepaal het derde kwartiel (Q3): Dit is de mediaan van de tweede helft van de waarnemingsgetallen.
   • Als $n$ oneven is, laat je de mediaan (Q2) buiten beschouwing en neem je de mediaan van de resterende $\frac{n-1}{2}$ waarnemingsgetallen in de tweede helft.
   • Als $n$ even is, neem je de mediaan van de laatste $\frac{n}{2}$ waarnemingsgetallen.
5. Bereken de kwartielafstand: Dit is het verschil tussen Q3 en Q1. $Kwartielafstand = Q3 - Q1$

Voorbeeld met een frequentietabel: Stel dat een docent de cijfers van een wiskundetoets heeft geanalyseerd voor een klas, weergegeven in de volgende frequentietabel:

Laten we de kwartielafstand berekenen:

1. Totale frequentie: $2 + 5 + 8 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35$ leerlingen. Dus $n = 35$.

2. Mediaan (Q2): Aangezien $n=35$ (oneven) is, is de mediaan het $\frac{35+1}{2} = 18$-de waarnemingsgetal.

   • Cijfer 4: 2 leerlingen (1e t/m 2e)
   • Cijfer 5: 5 leerlingen (3e t/m 7e)
   • Cijfer 6: 8 leerlingen (8e t/m 15e)
   • Cijfer 7: 10 leerlingen (16e t/m 25e) Het 18e getal valt bij cijfer 7. Dus, $Q2 = 7$.

3. Eerste kwartiel (Q1): We kijken naar de eerste helft van de waarnemingsgetallen, zonder de mediaan (Q2) mee te tellen. We hebben $35 - 1 = 34$ getallen over, dus $34 / 2 = 17$ getallen in de eerste helft. Q1 is de mediaan van deze eerste 17 getallen. Aangezien 17 oneven is, is Q1 het $\frac{17+1}{2} = 9$-de getal van de oorspronkelijke geordende reeks.

   • Cijfer 4: 2 leerlingen (1e t/m 2e)
   • Cijfer 5: 5 leerlingen (3e t/m 7e)
   • Cijfer 6: 8 leerlingen (8e t/m 15e) Het 9e getal valt bij cijfer 6. Dus, $Q1 = 6$.

4. Derde kwartiel (Q3): We kijken naar de tweede helft van de waarnemingsgetallen, ook 17 getallen. Q3 is de mediaan van deze 17 getallen. Dit is het 9e getal vanaf het begin van deze tweede helft. De tweede helft begint na het 18e getal (Q2). Dus het 9e getal in de tweede helft is het $18 + 9 = 27$-ste getal van de oorspronkelijke geordende reeks.

   • ... (tot en met het 25e getal is cijfer 7)
   • Cijfer 8: 6 leerlingen (26e t/m 31e) Het 27e getal valt bij cijfer 8. Dus, $Q3 = 8$.

5. Kwartielafstand: De kwartielafstand is het verschil tussen Q3 en Q1. $Q3 - Q1 = 8 - 6 = 2$.

De kwartielafstand voor deze dataset is dus 2.