Hoe bereken je de afstand tussen begin- en eindpunt van een parabool?

Om de afstand tussen het begin- en eindpunt van een parabool te berekenen, moet je eerst de coördinaten van deze twee punten vinden. Het "beginpunt" en "eindpunt" van een waterstraal in de vorm van een parabool zijn meestal de punten waar de waterstraal de grond raakt (of de x-as snijdt).

Hier zijn de stappen die je volgt:

1. Vind de formule van de parabool: Een parabool wordt vaak beschreven door een kwadratische formule, bijvoorbeeld $y = ax^2 + bx + c$.

2. Vind de snijpunten met de x-as: De begin- en eindpunten van de waterstraal op de grond zijn de punten waar $y = 0$. Je stelt de formule dus gelijk aan nul: $ax^2 + bx + c = 0$.

   • Deze vergelijking los je op om de x-coördinaten van de snijpunten te vinden. Dit kan met de ABC-formule: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
   • De twee oplossingen voor $x$ (zeg $x_1$ en $x_2$) zijn de x-coördinaten van je begin- en eindpunt. De y-coördinaten zijn in beide gevallen 0.
   • Dus je hebt twee punten: Punt A $(x_1, 0)$ en Punt B $(x_2, 0)$.

3. Bereken de afstand tussen deze twee punten: Nu je de coördinaten van de twee punten hebt, kun je de afstand ertussen berekenen met de afstandsformule (die is gebaseerd op de stelling van Pythagoras):

   $Afstand = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

   Aangezien $y_1 = 0$ en $y_2 = 0$, vereenvoudigt dit tot:

   $Afstand = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (0 - 0)^2}$ $Afstand = \sqrt{(x_2 - x_1)^2}$ $Afstand = |x_2 - x_1|$ (de absolute waarde, omdat afstand altijd positief is)

Voorbeeld: Stel, de waterstraal volgt de formule $y = -0.5x^2 + 4x$.

1. Formule: $y = -0.5x^2 + 4x$. Hier is $a = -0.5$, $b = 4$, en $c = 0$.
2. Snijpunten met de x-as (waar $y=0$): $-0.5x^2 + 4x = 0$ Je kunt $x$ buiten haakjes halen: $x(-0.5x + 4) = 0$ Dit geeft twee oplossingen:
   • $x = 0$ (Punt A: $(0, 0)$)
   • $-0.5x + 4 = 0 \implies -0.5x = -4 \implies x = \frac{-4}{-0.5} = 8$ (Punt B: $(8, 0)$)
3. Afstand berekenen: De afstand tussen $(0, 0)$ en $(8, 0)$ is: $Afstand = |8 - 0| = 8$

De afstand tussen het begin- en eindpunt van deze waterstraal is dus 8 eenheden.