De grafieken van f(x) = sin(x) en g(x) = cos(x)

Leerdoelen

•Je kunt de grafiek vanf(x)=\sin(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)en de grafiek vang(x)=\cos(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)herkennen.

•Je kunt de periode van\sin(x)(x)s(x)si(x)en\cos(x)(x)c(x)co(x)bepalen en uitleggen wat deze betekent.

•Je kunt de evenwichtsstand van\sin(x)(x)s(x)si(x)en\cos(x)(x)c(x)co(x)bepalen en uitleggen wat deze betekent.

•Je kunt de amplitude van\sin(x)(x)s(x)si(x)en\cos(x)(x)c(x)co(x)bepalen en uitleggen wat deze betekent.

De eenheidscirkel

Om te begrijpen hoe de grafieken vanf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)eng(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)eruitzien, duiken we eerst in de eenheidscirkel. Dit is een speciale cirkel in een assenstelsel. Het middelpunt van de eenheidscirkel ligt precies in de oorsprong (het punt\left(0,0\right))\left(0,0\right)en de straal van de cirkel is altijd gelijk aan

Wanneer we de functief(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)bekijken, staat(ook wely)voor dey\text{-coördinaat}y\text{-coördinaat}y\text{-coordinaat}yyyyyyyyyyyyyyyyyyyvan een puntdat over de eenheidscirkel beweegt. Dein deze functie staat niet voor dex\text{-coördinaat}vanP,maar voor de hoek dieheeft gemaakt, uitgedrukt in radialen. Deze hoek wordt vaak aangeduid met(alfa).

Op dezelfde manier, als we kijken naar de functieg(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x), dan staat(ook wely)voor devan het puntdat over de eenheidscirkel beweegt. Ook hier staat deweer voor de hoek dieheeft gemaakt, uitgedrukt in radialen.

De grafiek vanf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)

De grafiek vanf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)heeft een golvende vorm. De maximale waarde die de grafiek bereikt, is altijden de minimale waarde is altijdDit komt doordat devan puntop de eenheidscirkel nooit groter kan zijn dan(het hoogste punt) en nooit kleiner dan(het laagste punt).

Laten we stap voor stap kijken hoe de grafiek vanf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)ontstaat door puntover de eenheidscirkel te laten bewegen:

•radialen: Puntstart op de positievex\text{-as}xxxxxxxxxxxxxDe hoek is0.Devanis0.Op de grafiek zien we datf(0)=0.

•radialen:beweegt een kwartcirkel verder, tegen de klok in. De hoek is nu. Devanis(het hoogste punt). Op de grafiek isf\left(\frac{1}{2}\pi\right)=1f\frac{1}{2}\pi)=1(een maximum).

•radialen:beweegt nog een kwartcirkel verder. De hoek is nu\pi.Devanis0.Op de grafiek zien we datf(\pi)=0.

•radialen:beweegt weer een kwartcirkel verder. De hoek is nu1\frac{1}{2}\pi.Devanis(het laagste punt). Op de grafiek isf\left(1\frac{1}{2}\pi\right)=-1f1\frac{1}{2}\pi)=-1(een minimum).

•radialen:heeft een hele cirkel afgelegd. De hoek is nu2\pi.Devanis weer0.Op de grafiek zien we datf(2\pi)=0.Vanaf dit punt herhaalt de beweging zich, omdatsimpelweg opnieuw over de cirkel zal bewegen.

We kunnen ook met de klok mee bewegen voor negatieve hoeken:

•radialen: Vanaf het startpunt met de klok mee een kwartcirkel. Devanis-1.Op de grafiek isf\left(-\frac{1}{2}\pi\right)=-1.f\left(-\frac{1}{2}\pi\right)=-1f-\frac{1}{2}\pi)=-1

•radialen: Met de klok mee een halve cirkel. Devanis0.Op de grafiek isf(-\pi)=0.

De grafiek vanf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)heeft oneindig veel toppen (maxima) en dalen (minima), omdat je oneindig veel rondjes over de eenheidscirkel kunt lopen, zowel tegen de klok in als met de klok mee.

De grafiek vang(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)

Net als de sinusgrafiek heeft ook de grafiek vang(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=cc(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)een golvende vorm. Ook hier zijn de maximale waardeen de minimale waardeDit komt doordat dex\text{-coördinaat}van puntop de eenheidscirkel nooit groter kan zijn danen nooit kleiner dan

Laten we de grafiek vang(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)afleiden met behulp van de eenheidscirkel:

•radialen: Puntstart op de positievex\text{-as}x\text{-a}x\text{-}x\text{-}ax\text{-}asx\text{-}aDe hoek is0.0Devanis1.Op de grafiek zien we dat(een maximum). Dit is een belangrijk verschil met de sinusgrafiek, die bijdoor de oorsprong gaat.

•radialen:beweegt een kwartcirkel verder. De hoek is nu\frac{1}{2}\pi.Devanis0.Op de grafiek isg\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0.g\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0g\frac{1}{2}\pi)=0

•radialen:beweegt nog een kwartcirkel verder. De hoek is nu\pi.Devanis(het laagste punt). Op de grafiek is(een minimum).

•radialen:beweegt weer een kwartcirkel verder. De hoek is nu1\frac{1}{2}\pi.DevanisOp de grafiek zien we datg\left(1\frac{1}{2}\pi\right)=0.g\left(1\frac{1}{2}\pi\right)=0g1\frac{1}{2}\pi)=0

•radialen:heeft een hele cirkel afgelegd. De hoek is nu2\pi.Devanis weer1.Op de grafiek zien we dat(opnieuw een maximum). Ook hier herhaalt de beweging zich.

Voor negatieve hoeken:

•radialen: vanaf het startpunt met de klok mee een kwartcirkel. Devanis0.Op de grafiek isg\left(-\frac{1}{2}\pi\right)=0.g\left(-\frac{1}{2}\pi\right)=0g-\frac{1}{2}\pi)=0

•radialen: met de klok mee een halve cirkel. Devanis-1.Op de grafiek isg(-\pi)=-1.

Kenmerken van sinus- en cosinusgrafieken

Periode

De periode is de lengte van één complete golfbeweging van de grafiek. Na deze lengte herhaalt de grafiek zich precies. Dit komt overeen met één volledige omwenteling van puntover de eenheidscirkel.

Voor zowelf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)alsg(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)geldt dat de periodeis. Dit kun je op verschillende manieren aflezen of berekenen uit de grafiek:

1.Van maximum naar maximum: Meet de afstand tussen twee opeenvolgende maxima.

•Voorf(x)=\sin(x):f(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)een maximum ligt bijvoorbeeld bijen het volgende maximum bijx=2\frac{1}{2}\pi.De periode is dan2\frac{1}{2}\pi-\frac{1}{2}\pi=2\pi.

•Voorg(x)=\cos(x):g(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)een maximum ligt bijen het volgende maximum bijx=2\pi.De periode is dan2\pi-0=2\pi.

2.Van minimum naar minimum: Meet de afstand tussen twee opeenvolgende minima.

•Voorf(x)=\sin(x):f(x)=\sin(x)f(x)=\sin(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)een minimum ligt bijen het vorige minimum bijx=-\frac{1}{2}\pi.x=-\frac{1}{2}\pix=-\frac{1}{2}\frac{\pi}{\placeholder{}}De periode is dan1\frac{1}{2}\pi-\left(-\frac{1}{2}\pi\right)=1\frac{1}{2}\pi+\frac{1}{2}\pi=2\pi.1\frac{1}{2}\pi-\left(-\frac{1}{2}\pi\right)=1\frac{1}{2}\pi+\frac{1}{2}\pi=2\pi1\frac{1}{2}\pi--\frac{1}{2}\pi)=1\frac{1}{2}\pi+\frac{1}{2}\pi=2\pi

•Voorg(x)=\cos(x):g(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)een minimum ligt bijx=-\pien het volgende minimum bijx=\pi.x=\pix=p\pix=\piDe periode is dan\pi-\left(-\pi\right)=2\pi.\pi-\left(-\pi\right)=2\pi\pi-\left(-\pi=2\pi\right)\pi-\left(-\pi=2\pi\right)\pi-\left(\pi=2\pi\right)\pi-\pi=2\pi

3.Vanaf een startpunt: Kies een punt op de grafiek en zoek het eerstvolgende punt waar de grafiek weer exact dezelfde beweging begint (met dezelfdey\text{-waarde}yyyyyyyyyyyyyyyen dezelfde richting van de golf).

•Voorf(x)=\sin(x):f(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)de grafiek start bij\left(0,0\right)en keert terug naar\left(2\pi,0\right)om dezelfde beweging te beginnen. De periode is2\pi-0=2\pi.

•Voorg(x)=\cos(x):g(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=cc(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)de grafiek start bij\left(0,1\right)en keert terug naar\left(2\pi,1\right)om dezelfde beweging te beginnen. De periode is2\pi-0=2\pi.

Evenwichtsstand

De evenwichtsstand is de horizontale lijn die precies door het midden van de golfbeweging van de grafiek loopt. Het is de lijn waar de grafiek omheen slingert en ligt precies tussen de maximale en minimale waarde in. Vaak wordt de evenwichtsstand gestippeld weergegeven in grafieken.

Voor zowelf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)alsg(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)is de evenwichtsstandy=0.Dit is logisch, want de maximale waarde isen de minimale waarde is-1.Het midden hiertussen is\frac{1+(-1)}{2}=0.\frac{1+(-1)}{2}=0\frac{1+(-1)}{2}=0.(\frac{1+(-1)}{2}=0.(1\frac{1+(-1)}{2}=0.(1+\frac{1+(-1)}{2}=0.(1+\frac{1(-1)}{2}=0.(1+\frac{(-1)}{2}=0.(1+\frac{(-1))}{2}=0.(1+\frac{(-1))}{2}2=0.(1+\frac{(-1))}{\placeholder{}}2=0.(1+(-1))2=0.

Amplitude

De amplitude is de maximale uitwijking van de grafiek ten opzichte van de evenwichtsstand. Het is de afstand van de evenwichtsstand tot een maximum of tot een minimum. Aangezien de evenwichtsstand precies in het midden ligt, zijn deze afstanden altijd gelijk.

Voor zowelf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)alsg(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)is de amplitude1.

•De afstand van de evenwichtsstand\left(y=0\right)tot het maximum\left(y=1\right)y=1)is1-0=1.

•De afstand van de evenwichtsstandtot het minimum\left(y=-1\right)is0-(-1)=1.