De eenheidscirkel in radialen

De eenheidscirkel in radialen

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 11:53
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Begrippen (10)Leer de bijbehorende begrippen
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt de definitie van de hoekeenheid radiaal uitleggen en herkennen.

•Je kunt hoeken, gegeven in graden, omrekenen naar radialen.

•Je kunt hoeken, gegeven in radialen, omrekenen naar graden.

•Je kunt de hoekαin radialen berekenen van een puntPop de eenheidscirkel als dex\text{- of }y\text{-coördinaat}gegeven is.

Wat is een radiaal?

Stel je voor dat puntPover een cirkel beweegt. Als we de hoek diePaflegt willen bepalen, kunnen we dat in graden doen. Een volledige cirkel is dan360graden, een halve cirkel180graden, en een kwart cirkel90graden.

Een andere manier om een hoek uit te drukken is in radialen. Bij het meten in radialen meten we niet de opening van de hoek zoals met een geodriehoek, maar meten we de lengte van de cirkelboog die puntPheeft afgelegd. Dit is de lengte van het 'touwtje' dat je langs de cirkelboog kunt leggen en vervolgens kunt meten.

We werken vaak met de eenheidscirkel: een cirkel met een straal van1.De omtrek van een cirkel is2\cdot\pi\cdot\text{ straal.}Voor de eenheidscirkel is de omtrek dus2\cdot\pi\cdot1=2\pi\text{.}Dit betekent dat als puntPeen heel rondje over de eenheidscirkel heeft afgelegd, de afgelegde booglengte2πis. We zeggen dan dat de hoek2πradialen is.

Eenheidscirkel met middelpunt (0,0) en straal r=1. Punt P is ergens op de cirkel aangegeven. Een rode lijn markeert de cirkelboog die punt P heeft afgelegd vanaf de positieve x-as.
Eenheidscirkel met middelpunt (0,0) en straal r=1. Punt P is ergens op de cirkel aangegeven. Een rode lijn markeert de cirkelboog die punt P heeft afgelegd vanaf de positieve x-as.

Dit geeft ons een belangrijke vergelijking:2\pi\text{ radialen }=360\text{ graden.}

Omrekenen tussen graden en radialen

Basisverhoudingen

Met de kennis dat2πradialen gelijk is aan360graden, kunnen we andere veelvoorkomende hoeken omrekenen:

Radialen
Graden
Toelichting
2π
360\degree
Hele cirkel
π
180\degree
Halve cirkel
\frac12\pi
90\degree
Kwartcirkel
-\frac12\pi
-90\degree
Kwartcirkel, met de klok mee
-\pi
-180\degree
Halve cirkel, met de klok mee
-2\pi
-360\degree
Hele cirkel, met de klok mee

Wanneer een hoek met de klok mee wordt afgelegd, spreken we van een negatieve hoek. Tegen de klok in is de standaard positieve richting.

We weten datπradialen gelijk is aan180graden. Om te weten hoeveel graden1radiaal is, delen we 180 graden door\pi\text{:}1\text{ radiaal}=\frac{180}{\pi}\text{ graden.} Omdatπongeveer3{,}14159is, komt dit neer op:1\text{ radiaal}\thickapprox57{,}3\text{ graden}(afgerond op één decimaal).

Van radialen naar graden

Om een hoek in radialen om te rekenen naar graden, gebruiken we de verhouding: \text{aantal graden }=\text{ aantal radialen}\cdot\frac{360}{2\pi}of, eenvoudiger\text{aantal radialen }\cdot\frac{180}{\pi}\text{.}

Rekenvoorbeeld 1a: Hoeveel graden hoort er bij een hoek van1{,}2radialen (afgerond op één decimaal)?

•\text{aantal graden }=1{,}2\cdot\frac{360}{2\pi}=1{,}2\cdot\frac{180}{\pi}\approx68{,}8\text{ graden}

Rekenvoorbeeld 1b: Druk\frac13\piradialen uit in graden (exact antwoord).

•\text{aantal graden }=\frac13\pi\cdot\frac{180}{\pi}=60\text{ graden}

•Een hoek van\frac13\piradialen is dus precies60graden.

Rekenvoorbeeld 1c: Druk\frac13radiaal uit in graden (afgerond op één decimaal).

•Let op: hier staat geenπbij het aantal radialen. We kunnen deπdus niet wegstrepen.

•\text{aantal graden }=\frac13\cdot\frac{180}{\pi}=\frac{60}{\pi}\approx19{,}1\text{ graden}

Van graden naar radialen

Om een hoek in graden om te rekenen naar radialen, gebruiken we de verhouding: \text{aantal radialen }=\text{ aantal graden }\cdot\frac{2\pi}{360}of, eenvoudiger\text{aantal graden}\cdot\frac{\pi}{180}\text{.}

Rekenvoorbeeld 2a: Druk-45graden uit in radialen (exact antwoord).

•\text{aantal radialen }=-45\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{-45}{180}\cdot\pi=-\frac14\cdot\pi=-\frac{\pi}{4}\text{ radialen}

Rekenvoorbeeld 2b: Druk21graden uit in radialen (afgerond op twee decimalen).

•\text{aantal radialen }=21\cdot\frac{\pi}{180}\thickapprox0{,}37\text{ radialen}

Coördinaten op de eenheidscirkel met radialen

Als je met radialen rekent, moet je altijd je rekenmachine instellen op de juiste stand: RAD (radialen). De standaardstand is vaak DEG (graden).

Op de eenheidscirkel gelden de volgende regels voor een puntP(x, y)bij een hoek\alpha,gemeten vanaf de positievex\text{-as}tegen de klok in:

•Dex\text{-coördinaat}vanPis gelijk aan\cos(\alpha).

•Dey\text{-coördinaat}vanPis gelijk aan\sin(\alpha).

Rekenvoorbeeld 3: Gegeven is de y-coördinaat van P is-0{,}34. Berekenαin radialen, rond af op twee decimalen.

•We weten dat dey\text{-coördinaat}overeenkomt met de sinus van de hoek. Dus:\sin(\alpha)=-0{,}34.Omαte vinden, gebruiken we de inverse sinusfunctie (arcsin of\sin^{-1}op je rekenmachine):\alpha=\sin^{-1}(-0{,}34)\thickapprox-0{,}3469\text{ radialen}.

•De rekenmachine geeft vaak de 'kleinste' hoek (tussen-\frac12\pien\frac12\pi).In dit geval is dat een negatieve hoek, wat betekent dat puntPmet de klok mee is gemeten vanaf de positievex\text{-as}.In de onderstaande afbeelding zien we datPin het derde kwadrant ligt. De gevraagde hoekαis echter tegen de klok in gemeten en dus positief.

Punt P bevindt zich in het derde kwadrant en punt P' in het vierde kwadrant met dezelfde y-coördinaat.
Punt P bevindt zich in het derde kwadrant en punt P' in het vierde kwadrant met dezelfde y-coördinaat.

•De hoek die de rekenmachine geeft\left(-0{,}3469\right.rad) is de hoek naar een puntP'in het vierde kwadrant, dat dezelfdey\text{-coördinaat}heeft. Het puntPuit de opgave bevindt zich echter in het derde kwadrant. Dit betekent dat de hoekαgroter is dan\pi\ \left(180\right.graden).

•De rekenmachine geeft een negatieve hoek. De bijbehorende referentiehoek, de absolute waarde van deze hoek, is0{,}3469radialen. Om de positieve hoekαte vinden, tellen we deze referentiehoek op bij\pi:\alpha=\pi+0{,}3469\approx3{,}1416+0{,}3469=3{,}4885\text{ radialen}.

•Afgerond op twee decimalen is dit3{,}49radialen.

Rekenvoorbeeld 4: Gegeven is de x-coördinaat van P is0{,}56\text{.}Berekenαin radialen, rond af op twee decimalen.

•Dex\text{-coördinaat}komt overeen met de cosinus van de hoek. Dus:\cos(\alpha)=0{,}56\text{.}Omαte vinden, gebruiken we de inverse cosinusfunctie (arccos of\cos^{-1}op je rekenmachine):\alpha=\cos^{-1}(0{,}56)\approx0{,}9764\text{ radialen.}

•De rekenmachine geeft hier de kleinste positieve hoek (tussen0en\pi\text{).}Uit de afbeelding blijkt datPin het vierde kwadrant ligt\left(x\text{-coördinaat}\right.is positief,y\text{-coördinaat}is negatief, en de hoek is bijna een heel rondje). De hoek die de rekenmachine geeft\left(0{,}9764\right.rad) is een hoek in het eerste kwadrant.

Punt P bevindt zich in het vierde kwadrant en punt P' in het eerste kwadrant met dezelfde x-coördinaat.
Punt P bevindt zich in het vierde kwadrant en punt P' in het eerste kwadrant met dezelfde x-coördinaat.

•De hoek0{,}9764rad is de referentiehoek in het eerste kwadrant. Om de gevraagde hoekαte vinden, die in het vierde kwadrant ligt en tegen de klok in gemeten wordt, trekken we deze referentiehoek af van een volledige cirkel\left(2\pi\right.radialen):\alpha=2\pi-0{,}9764\approx6{,}2832-0{,}9764=5{,}3068\text{ radialen.}

•Afgerond op twee decimalen is dit5{,}31radialen.

Veelgestelde vragen
Bekijk ook

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.