Hoe bereken je de cosinus van een hoek in radialen?

Om de cosinus van een hoek in radialen te berekenen, volg je een aantal stappen, vooral als de hoek groter is dan $2\pi$ of negatief is. De cosinusfunctie is periodiek met een periode van $2\pi$. Dit betekent dat de waarde van de cosinus zich elke $2\pi$ radialen herhaalt. Oftewel, $\cos(\alpha) = \cos(\alpha + 2k\pi)$ voor elk geheel getal $k$.

Hier is hoe je het aanpakt, met als voorbeeld $\cos(7 \frac{3}{4} \pi)$:

1. Vereenvoudig de hoek: Als de hoek groter is dan $2\pi$ (of kleiner dan $0$), trek dan veelvouden van $2\pi$ af (of tel ze op) totdat de hoek tussen $0$ en $2\pi$ ligt. Dit maakt de berekening eenvoudiger.

   • De hoek is $7 \frac{3}{4} \pi$. Dit kunnen we schrijven als $\frac{31}{4} \pi$.
   • We weten dat $2\pi = \frac{8}{4}\pi$. We kunnen $3$ keer $2\pi$ eraf halen, omdat $3 \times \frac{8}{4}\pi = \frac{24}{4}\pi$.
   • $\frac{31}{4} \pi - \frac{24}{4} \pi = \frac{7}{4} \pi$.
   • Dus, $\cos(7 \frac{3}{4} \pi) = \cos(\frac{7}{4} \pi)$.

2. Bepaal het kwadrant en het teken: De eenheidscirkel helpt je te bepalen in welk kwadrant de vereenvoudigde hoek ligt. Dit is belangrijk om te weten of de cosinuswaarde positief of negatief is.

   • De hoek $\frac{7}{4} \pi$ ligt in het vierde kwadrant (tussen $\frac{3}{2}\pi$ en $2\pi$).
   • In het vierde kwadrant is de x-coördinaat (en dus de cosinus) positief.

3. Zoek de referentiehoek: De referentiehoek is de scherpe hoek die de hoek maakt met de dichtstbijzijnde x-as. Dit is de hoek in het eerste kwadrant die dezelfde absolute cosinuswaarde heeft.

   • Voor een hoek in het vierde kwadrant, zoals $\frac{7}{4} \pi$, is de referentiehoek $2\pi - \frac{7}{4} \pi = \frac{8}{4} \pi - \frac{7}{4} \pi = \frac{1}{4} \pi$.

4. Bereken de cosinuswaarde: Gebruik de referentiehoek om de absolute waarde van de cosinus te vinden, en pas vervolgens het teken toe dat je in stap 2 hebt bepaald.

   • De cosinus van de referentiehoek $\frac{1}{4} \pi$ (wat overeenkomt met $45^\circ$) is $\frac{1}{2}\sqrt{2}$.
   • Omdat de cosinus in het vierde kwadrant positief is, is $\cos(\frac{7}{4} \pi) = \frac{1}{2}\sqrt{2}$.

Dus, $\cos(7 \frac{3}{4} \pi) = \frac{1}{2}\sqrt{2}$.

Het is handig om te weten dat je radialen ook kunt omrekenen naar graden met de formule: $\text{Aantal graden} = \frac{\text{aantal radialen}}{\pi} \times 180^\circ$ En van graden naar radialen: $\text{Aantal radialen} = \frac{\text{aantal graden}}{180^\circ} \times \pi$