Leerdoelen
•Je kunt uitleggen hoe de functiesf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)eng(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)veranderen als de functie verticaal verschoven wordt.
•Je kunt uitleggen hoe de functiesf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)eng(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)veranderen als de functie vermenigvuldigd wordt ten opzichte van de x-as.
•Je kunt uitleggen hoe de functiesf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)eng(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)veranderen als de functie vermenigvuldigd wordt ten opzichte van de y-as.
•Je kunt uitleggen hoe de functiesf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)eng(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)veranderen als de functie horizontaal verschoven wordt.
•Je kunt de periode, de evenwichtsstand, de amplitude en de coördinaten van het beginpunt aflezen uit de algemene goniometrische formule.
•Je kunt de volgorde van transformaties herkennen en uitleggen waarom deze van invloed is op het eindresultaat.
•Je kunt een gegeven goniometrische functie ontleden in een reeks van transformaties vanuit de standaardfunctie.
Verticale translatie
Stel, je hebt de standaardfunctief(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x). Als we deze functie verticaal verschuiven meteenheden omhoog, spreken we van een translatie\left(0,2\right). Dit betekent dat de y-waarden metworden verhoogd. De nieuwe functie wordt dang(x)=2+\sin(x)g(x)=2+si(x)g(x)=2+s(x)g(x)=2+(x)g(x)=2+s(x)g(x)=2+si(x).
Wat verandert er door deze verticale verschuiving?
•De periode (de lengte van één volledige golf) blijft onveranderd:2\pi2\pi\pi2\pi2\pi2\pi.
•De evenwichtsstand (de lijn waar de grafiek omheen slingert) verschuift mee. Was deze bijy=\sin(x)y=si(x)y=s(x)y=(x)y=s(x)y=si(x)nog, nu is hij.
•De amplitude (de maximale uitwijking vanuit de evenwichtsstand) blijft onveranderd:.
Voor de cosinusfunctie geldt precies hetzelfde: een verticale translatie van\left(0,2\right)bijf(x)=\cos(x)f(x)=co(x)f(x)=c(x)f(x)=(x)f(x)=c(x)f(x)=co(x)resulteert ing(x)=2+\cos(x)g(x)=2+co(x)g(x)=2+c(x)g(x)=2+(x)g(x)=2+c(x)g(x)=2+co(x). De periode en amplitude blijven gelijk, de evenwichtsstand wordt.
Vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as
Als we de standaardfunctief(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as met, dan betekent dit dat de y-waarden van de grafiek worden vermenigvuldigd met. De nieuwe functie isg(x)=2\sin(x)g(x)=2si(x)g(x)=2s(x)g(x)=2(x)g(x)=2s(x)g(x)=2si(x).
Wat verandert er hierdoor?
•De periode blijft onveranderd:.
•De evenwichtsstand blijft onveranderd:.
•De amplitude is nu twee keer zo groot geworden. Was deze, nu is hij.
Ook voor de cosinusfunctie werkt dit identiek: vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as metbijf(x)=\cos(x)f(x)=co(x)f(x)=c(x)f(x)=(x)f(x)=c(x)f(x)=co(x)resulteert ing(x)=2\cos(x)g(x)=2co(x)g(x)=2c(x)g(x)=2(x)g(x)=2c(x)g(x)=2co(x). De periode en evenwichtsstand blijven gelijk, de amplitude wordt.
Vermenigvuldigen ten opzichte van de y-as
Laten wef(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)vermenigvuldigen ten opzichte van de y-as met een factor\frac12\frac{1}{\placeholder{}}11/. Dit betekent dat de grafiek horizontaal wordt samengedrukt. De nieuwe functie wordt dang(x)=\sin(2x)g(x)=si(2x)g(x)=s(2x)g(x)=(2x)g(x)=s(2x)g(x)=si(2x). Merk op dat de factorin de haakjes komt te staan, omgekeerd aan de vermenigvuldigingsfactor\frac12\frac{1}{\placeholder{}}11/.
Wat verandert er hierdoor?
•De periode is nu de helft geworden. De grafiek loopt tweemaal zo snel. De periode is nuin plaats van.
•De evenwichtsstand blijft onveranderd:.
•De amplitude blijft onveranderd:.
Voor de cosinusfunctie geldt hetzelfde: vermenigvuldigen ten opzichte van de y-as met\frac12\frac{1}{\placeholder{}}11/bijf(x)=\cos(x)f(x)=co(x)f(x)=c(x)f(x)=(x)f(x)=c(x)f(x)=co(x)resulteert ing(x)=\cos(2x)g(x)=co(2x)g(x)=c(2x)g(x)=(2x)g(x)=c(2x)g(x)=co(2x). De evenwichtsstand en amplitude blijven gelijk, de periode wordt de helft\left(\pi\right).
Horizontale translatie
Bijf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)passen we nu een horizontale translatie toe van\left(2,0\right). Dit betekent dat de grafiekeenheden naar rechts verschuift. De nieuwe functie wordtg(x)=\sin(x-2)g(x)=si(x-2)g(x)=s(x-2)g(x)=(x-2)g(x)=s(x-2)g(x)=si(x-2).
Wat verandert er hierdoor?
•De periode blijft onveranderd:.
•De evenwichtsstand blijft onveranderd:.
•De amplitude blijft onveranderd:.
Waar heeft het dan wel invloed op? Op het beginpunt van de sinus. Het beginpunt van een sinusfunctie is per definitie het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat. Voorf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)is dit het punt\left(0,0\right). Bijg(x)=\sin(x-2)g(x)=si(x-2)g(x)=s(x-2)g(x)=(x-2)g(x)=s(x-2)g(x)=si(x-2)verschuift dit punteenheden naar rechts, dus naar\left(2,0\right).
Voor de cosinusfunctie geldt: een horizontale translatie van\left(2,0\right)bijf(x)=\cos(x)f(x)=co(x)f(x)=c(x)f(x)=(x)f(x)=c(x)f(x)=co(x)resulteert ing(x)=\cos(x-2)g(x)=co(x-2)g(x)=c(x-2)g(x)=(x-2)g(x)=c(x-2)g(x)=co(x-2). Periode, evenwichtsstand en amplitude blijven gelijk. Het beginpunt van een cosinusfunctie is per definitie een maximum. Voorf(x)=\cos(x)f(x)=co(x)f(x)=c(x)f(x)=(x)f(x)=c(x)f(x)=co(x)is dit het punt\left(0,1\right). Bijg(x)=\cos(x-2)g(x)=co(x-2)g(x)=c(x-2)g(x)=(x-2)g(x)=c(x-2)g(x)=co(x-2)verschuift dit punteenheden naar rechts, dus naar\left(2,1\right).
De algemene goniometrische functie
De transformaties die we zojuist hebben besproken, kunnen we samenvatten in de algemene formules voor goniometrische functies:
Voor de sinusfunctie:y=a+b\sin(c\left(x-d)\right.)y=a+b\sin(c\left(x-d)\right.)y=a+b\sin(c\left(x-d)\right..y=a+b\sin(c\left(x-d)\right).y=a+b\sin(c\left(x-d)\right))y=a+b\sin(c(x-d))y=a+b\sin(c(x-))y=a+b\sin(c(x-D))y=a+b\sin((x-D))y=a+b\sin(C(x-D))y=a+bsi(C(x-D))y=a+bs(C(x-D))y=a+b(C(x-D))y=a+bs(C(x-D))y=a+bsi(C(x-D))y=a+bsin(C(x-D))y=a+sin(C(x-D))y=a+Bsin(C(x-D))y=+Bsin(C(x-D))
Voor de cosinusfunctie:y=a+b\cos(c\left(x-d)\right.)y=a+bco(c\left(x-d)\right.)y=a+bc(c\left(x-d)\right.)y=a+b(c\left(x-d)\right.)y=a+(c\left(x-d)\right.)y=a+b(c\left(x-d)\right.)y=a+b\sin(c\left(x-d)\right.)
Laten we kijken wat elke letter betekent:
•: Dit getal staat voor de evenwichtsstand van de grafiek. Het is de verticale verschuiving (verticale translatie). Alspositief is, schuift de grafiek omhoog; alsnegatief is, schuift de grafiek omlaag.
•: Dit getal geeft de amplitude van de grafiek aan. Het is de vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as. De amplitude is de absolute waarde vanbb:b:|b|b:\,|b|b\,|b|b\,(|b|b\,(|b|)b(|b|)b(|b|), oftewel|b|. Alsnegatief is, is de grafiek bovendien gespiegeld in de evenwichtsstand.
•: Dit getal heeft invloed op de periode van de grafiek. Het is de vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as (met factor\frac{1}{c}\frac{1}{\placeholder{}}11/). De periode is te berekenen met de formule:\text{periode }=\frac{2\pi}{c}\text{periode }=\frac{2\pi}{\placeholder{}}\text{periode }=2\pi\text{periode }=2\pi/\text{periode }=2\pi/C\text{periode}=2\pi/C=2\pi/C=2\pi/C=2\pi/C=2\pi/C=2\pi/C=2\pi/C=2\pi/C=2\pi/C=2\pi/C=2\pi/C. Hoe groter, hoe kleiner de periode (en hoe sneller de golven elkaar opvolgen).
•: Dit getal staat voor de horizontale translatie van de grafiek. Dit is de x-coördinaat van het beginpunt. Let op het minteken in de formule:x-dx-. Alspositief is, verschuift de grafiek naar rechts; alsnegatief is, verschuift de grafiek naar links.
Het beginpunt van de functie is afhankelijk van of het een sinus- of cosinusfunctie is:
•Voor een sinusfunctiey=a+b\sin(c\left(x-d)\right.)\left.y=a+b\sin(c\left(x-d)\right.)\right)\left(y=a+b\sin(c\left(x-d)\right.)\right)\left(\right)\left(p\right)\left(pe\right)\left(per\right)\left(peri\right)\left(perio\right)\left(period\right)\left(periode\right)\left(\right)\left(\right))is het beginpunt\left(d,a\right)\left(d,\right)\left(d,A\right)\left(dD,A\right)\left(D,A\right). Dit is het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat.
•Voor een cosinusfunctiey=a+b\cos(c\left(x-d)\right.)\left.y=a+b\cos(c\left(x-d)\right.)\right)\left(y=a+b\cos(c\left(x-d)\right.)\right)\left(y=a+bco(c\left(x-d)\right.)\right)\left(y=a+bc(c\left(x-d)\right.)\right)\left(y=a+b(c\left(x-d)\right.)\right)\left(y=a+b\sin(c\left(x-d)\right.)\right)\left.\right)\left.\right)\left(\right)\left(\left(y=a+b\sin(c\left(x-d)\right.)\right)\right)\left(\right)\left(\right)is het beginpunt\left(d,a+b\right)\left(d,Aa+b\right)\left(d,Aa+b+\right)\left(d,Aa+b+B\right)\left(d,Aa++B\right)\left(d,Aa+B\right)\left(d,A+B\right)\left(dD,A+B\right)\left(D,A+B\right). Dit is het punt waar de grafiek een maximum bereikt (ervan uitgaande datb>0>0. Als, bereikt de grafiek in het punt\left(d,a+b\right)een minimum).
Rekenvoorbeeld voor een sinusfunctie
Gegeven is de functief(x)=3+\frac14\sin(\frac15\left(x-\pi)\right.)f(x)=3+\frac14\sin(\frac15\left(x-\pi)\right))f(x)=3+\frac14\sin(\frac15(x-\pi))f(x)=3+\frac14\sin(\frac{1}{\placeholder{}}(x-\pi))f(x)=3+\frac14\sin(1(x-\pi))f(x)=3+\frac14\sin(1/(x-\pi))f(x)=3+\frac14\sin(1/5(x-\pi))f(x)=3+\frac14si(1/5(x-\pi))f(x)=3+\frac14s(1/5(x-\pi))f(x)=3+\frac14(1/5(x-\pi))f(x)=3+\frac14s(1/5(x-\pi))f(x)=3+\frac14si(1/5(x-\pi))f(x)=3+\frac14sin(1/5(x-\pi))f(x)=3+\frac{1}{\placeholder{}}sin(1/5(x-\pi))f(x)=3+1sin(1/5(x-\pi))f(x)=3+1/sin(1/5(x-\pi)). Bepaal de periode, de evenwichtsstand, de amplitude en de coördinaten van het beginpunt.
Vergelijk de functie met de algemene formuley=a+b\sin(c\left(x-d)\right.)\left(y=a+b\sin(c\left(x-d)\right.)\right.\left(y=a+b\sin(c\left(x-d)\right.)\right):
•
•b=\frac14b=\frac{1}{\placeholder{}}b=1b=1/
•c=\frac15c=\frac{1}{\placeholder{}}c=1c=1/
•
Berekeningen:
•Periode:\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\frac15}=2\pi\cdot5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\frac15}=2\pi5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\frac15}=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\frac15}(=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\frac15}(1=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\frac15}(1/=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\frac15}(1/5=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\frac15}(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\left(\frac15\right.}(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\left(\frac155\right.}(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\left(\frac{1}{\placeholder{}}5\right.}(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\left(15\right.}(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\left(\frac15\right.}(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\left(\frac15\right)}(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\left(\frac{1}{\placeholder{}}\right)}(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\left(1\right)}(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\left(\placeholder{}\right)}(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\placeholder{}}(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=2\pi(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{\placeholder{}}=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=2\pi=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=2\pi/=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi\text{periode }=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pip=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pipe=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\piper=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\piperi=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\piperio=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\piperiod=2\pi/C=2\pi/(1/5)=2\pi *5=10\pi.
•Evenwichtsstand:.
•Amplitude:b=\frac14b=\frac{1}{\placeholder{}}b=1b=1/.
•Beginpunt:\left(d,a\right)=\left(\pi,3\right)\left(d,\right)=\left(\pi,3\right)\left(d,A\right)=\left(\pi,3\right)\left(dD,A\right)=\left(\pi,3\right)\left(D,A\right)=\left(\pi,3\right)\left(D,A\right)=(\pi,3. De grafiek gaat in het punt\left(\pi,3\right)stijgend door de evenwichtsstand.
Rekenvoorbeeld voor een cosinusfunctie
Gegeven is de functief(x)=-5+2\cos(6\left(x-\frac14\pi\right))f(x)=-5+2\cos(6\left(x-\frac14\pi)\right))f(x)=-5+2\cos(6(x-\frac14\pi))f(x)=-5+2\cos(6(x-\frac{1}{\placeholder{}}\pi))f(x)=-5+2\cos(6(x-1\pi))f(x)=-5+2\cos(6(x-1/\pi))f(x)=-5+2\cos(6(x-1/4\pi))f(x)=-5+2co(6(x-1/4\pi))f(x)=-5+2c(6(x-1/4\pi))f(x)=-5+2(6(x-1/4\pi))f(x)=-5+2c(6(x-1/4\pi))f(x)=-5+2co(6(x-1/4\pi)). Bepaal de periode, de evenwichtsstand, de amplitude en de coördinaten van het beginpunt.
Vergelijk de functie met de algemene formuley=a+b\cos(c\left(x-d)\right.)\left(y=a+b\cos(c\left(x-d)\right.)\right.\left(y=a+b\cos(c\left(x-d)\right.)\right):
•
•
•
•d=\frac14\pid=\frac{1}{}\pid=\frac15\pid=\frac{1}{\placeholder{}}\pid=1\pid=1/\pi
Berekeningen:
•Periode:\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{6}=\frac13\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{6}=\frac{1}{\placeholder{}}\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{6}=1\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{6}=13\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{6}=1/3\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\placeholder{}}=1/3\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=2\pi=1/3\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=2\pi/=1/3\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=2\pi/6=1/3\pi\text{periode }=\frac{2\pi}{\placeholder{}}=2\pi/6=1/3\pi\text{periode }=2\pi=2\pi/6=1/3\pi\text{periode }=2\pi/=2\pi/6=1/3\pi\text{periode }=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi=2\pi/C=2\pi/6=1/3\pi.
•Evenwichtsstand:. De hele grafiek iseenheden omlaag geschoven.
•Amplitude:.
•Beginpunt:\left(d,a+b\right)=\left(\frac14\pi,-5+2\right)=\left(\frac14\pi,-3\right)\left(d,a+b\right)=\frac14\pi,-5+2)=\left(\frac14\pi,-3\right)\left(d,a+b\right)=(\frac14\pi,-5+2)=\left(\frac14\pi,-3\right)\left(d,a+b\right)=(\frac14\pi,-5+2)=(\frac14\pi,-3\left(d,a+b\right)=(\frac14\pi,-5+2)=(\frac{1}{\placeholder{}}\pi,-3\left(d,a+b\right)=(\frac14\pi,-5+2)=(1\pi,-3\left(d,a+b\right)=(\frac14\pi,-5+2)=(1/\pi,-3\left(d,a+b\right)=(\frac14\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3\left(d,a+b\right)=(\frac144\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3\left(d,a+b\right)=(\frac{1}{\placeholder{}}4\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3\left(d,a+b\right)=(14\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3\left(d,a+b\right)=(1/4\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3\left(d,a+\right)=(1/4\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3\left(d,a+B\right)=(1/4\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3\left(d,+B\right)=(1/4\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3\left(d,A+B\right)=(1/4\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3\left(d,Aa+B\right)=(1/4\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3\left(d,A+B\right)=(1/4\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3\left(d,Aa+B\right)=(1/4\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3\left(d,A+B\right)=(1/4\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3\left(,A+B\right)=(1/4\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3\left(D,A+B\right)=(1/4\pi,-5+2)=(1/4\pi,-3. De grafiek heeft in het punt\left(\frac14\pi,-3\right)\left(\frac{1}{\placeholder{}}\pi,-3\right)\left(1\pi,-3\right)\left(1/\pi,-3\right)\left(1/4\pi,-3\right)een maximum.
De volgorde van transformaties
Voorbeeld 1: verticale rekking en verticale verschuiving
We starten mety=\sin(x)y=si(x)y=s(x)y=(x)y=s(x)y=si(x).
Scenario A: eerst vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as (factor), dan verticale translatie\left(0,3\right).
1.Vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as met:y=2\sin(x)y=2si(x)y=2s(x)y=2(x)y=2s(x)y=2si(x).
2.Translatie\left(0,3\right):y-3=2\sin(x)y-3=2si(x)y-3=2s(x)y-3=2(x)y-3=2s(x)y-3=2si(x), dusy=3+2\sin(x)y=3+2si(x)y=3+2s(x)y=3+2(x)y=3+2s(x)y=3+2si(x).
Scenario B: eerst verticale translatie\left(0,3\right), dan vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as (factor).
1.Translatie\left(0,3\right):y-3=\sin(x)y-3=si(x)y-3=s(x)y-3=(x)y-3=s(x)y-3=si(x), dusy=3+\sin(x)y=3+si(x)y=3+s(x)y=3+(x)y=3+s(x)y=3+si(x).
2.Vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as met:wordt vermenigvuldigd met. Dit betekent dat alles aan de rechterkant metvermenigvuldigd moet worden:y=2\cdot(3+\sin(x))y=2\cdot(3+si(x))y=2\cdot(3+s(x))y=2\cdot(3+(x))y=2\cdot(3+s(x))y=2\cdot(3+si(x))y=2\cdot(3+sin(x))y=2(3+sin(x)), dusy=6+2\sin(x)y=6+2si(x)y=6+2s(x)y=6+2so(x)y=6+2s(x)y=6+2(x)y=6+2s(x)y=6+2si(x).
Je ziet dat de eindfuncties verschillen (y=3+2\sin(x)y=3+2si(x)y=3+2s(x)y=3+2(x)y=3+2s(x)y=3+2si(x)y=3+2sin(x)y=3+2si(x)y=3+2sim(x)y=3+2si(x)y=3+2si(x)y=3+2s(x)y=3+2(x)y=3+2s(x)y=3+2si(x)versusy=6+2\sin(x)y=6+2si(x)y=6+2s(x)y=6+2(x)y=6+2s(x)y=6+2si(x)). Dit komt doordat in scenario B eerst de hele grafiek omhoog is geschoven en daarna alle y-waarden (inclusief de verschuiving) zijn uitgerekt.
Voorbeeld 2: horizontale translatie en horizontale rekking
We starten mety=\sin(x)y=si(x)y=s(x)y=(x)y=s(x)y=si(x).
Scenario A: eerst horizontale translatie\left(\frac12\pi,0\right)\left(\frac{1}{\placeholder{}}\pi,0\right)\left(1\pi,0\right)\left(1/\pi,0\right)\left(1/2\pi,0\right), dan vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor.
1.Translatie\left(\frac12\pi,0\right)\left(\frac122\pi,0\right)\left(\frac{1}{\placeholder{}}2\pi,0\right)\left(12\pi,0\right)\left(1/2\pi,0\right):y=\sin(x-\frac12\pi)y=\sin(x-\frac{1}{\placeholder{}}\pi)y=\sin(x-1\pi)y=\sin(x-1/\pi)y=\sin(x-1/2\pi)y=si(x-1/2\pi)y=s(x-1/2\pi)y=(x-1/2\pi)y=s(x-1/2\pi)y=si(x-1/2\pi).
2.Vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor(factor\frac13\frac{1}{\placeholder{}}11/in de functie):y=\sin\left(\frac13x-\frac12\pi\right)y=\sin\left(\frac13x-\frac12\pi\right)=\sin(\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot x-\frac12\pi\right)=\sin(\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left.x-\frac12\pi\right)\right)=\sin(\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left.x-\frac12\pi\right)\right)=\sin(\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left.x-\frac12\pi\right)\right)=\sin(\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=\sin(\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=\sin(\frac13x-\frac166\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=\sin(\frac13x-\frac{1}{\placeholder{}}6\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=\sin(\frac13x-16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=\sin(\frac13x-1/6\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=\sin(\frac133x-1/6\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=\sin(\frac{1}{\placeholder{}}3x-1/6\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=\sin(13x-1/6\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=\sin(1/3x-1/6\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=si(1/3x-1/6\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=s(1/3x-1/6\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=(1/3x-1/6\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==(1/3x-1/6\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==s(1/3x-1/6\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==si(1/3x-1/6\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==sin(1/3x-1/6\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)y=\sin(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)y=\sin(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right))y=\sin(\frac13\cdot(x-\frac12\pi)y=\sin(\frac13\cdot(x-\frac12\pi))y=\sin(\frac13\cdot(x-\frac122\pi))y=\sin(\frac13\cdot(x-\frac{1}{}2\pi))y=\sin(\frac13\cdot(x-\frac132\pi))y=\sin(\frac13\cdot(x-\frac{1}{\placeholder{}}2\pi))y=\sin(\frac13\cdot(x-12\pi))y=\sin(\frac13\cdot(x-1/2\pi))y=\sin(\frac13(x-1/2\pi))y=\sin(\frac13*(x-1/2\pi))y=\sin(\frac133*(x-1/2\pi))y=\sin(\frac{1}{\placeholder{}}3*(x-1/2\pi))y=\sin(13*(x-1/2\pi))y=\sin(1/3*(x-1/2\pi))y=si(1/3*(x-1/2\pi))y=s(1/3*(x-1/2\pi))y=(1/3*(x-1/2\pi))y=s(1/3*(x-1/2\pi))y=si(1/3*(x-1/2\pi)).
Scenario B: eerst vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor, dan horizontale translatie\left(\frac12\pi,0\right)\left(\frac{1}{\placeholder{}}\pi,0\right)\left(1\pi,0\right)\left(1/\pi,0\right)\left(1/2\pi,0\right).
1.Vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor(factor\frac13\frac{1}{\placeholder{}}11/in de functie):y=\sin\left(\frac13x\right)y=\sin(\frac13xy=\sin(\frac13x)y=\sin(\frac{1}{\placeholder{}}x)y=\sin(1x)y=\sin(1/x)y=\sin(1/3x)y=si(1/3x)y=s(1/3x)y=(1/3x)y=s(1/3x)y=si(1/3x)y=si(1/3x)y=s(1/3x)y=sn(1/3x)y=s(1/3x)y=(1/3x)y=s(1/3x)y=si(1/3x).
2.Translatie\left(\frac12\pi,0\right)\left(\frac122\pi,0\right)\left(\frac{1}{\placeholder{}}2\pi,0\right)\left(12\pi,0\right)\left(1/2\pi,0\right)\left(1/2\pi,0\right)\left(1/2\pi,0\right)\left(1/2\pi,0\right): In dit geval betekent het dat elkewordt vervangen doorx-\frac12\pix-\frac122\pix-\frac{1}{\placeholder{}}2\pix-12\pi. De factor\frac13\frac{1}{}\frac12\frac{1}{\placeholder{}}11/blijft voor de haakjes staan:y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=\sin\left(\frac13x-\frac16\pi\right)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=\sin\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=\sin(\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=si(\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=s(\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=(\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==(\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==s(\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==si(\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==sin(\frac13x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==sin(\frac{1}{\placeholder{}}x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==sin(1x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==sin(1/x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==sin(1/3x-\frac16\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==sin(1/3x-\frac{1}{\placeholder{}}\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==sin(1/3x-1\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==sin(1/3x-1/\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==sin(1/3x-1/6\pi)y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)==sin(1/3x-1/6\pi).y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)y=\sin(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)y=\sin(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right))y=\sin(\frac13\cdot(x-\frac12\pi)y=\sin(\frac13\cdot(x-\frac12\pi))y=\sin(\frac13\cdot(x-\frac122\pi))y=\sin(\frac13\cdot(x-\frac{1}{\placeholder{}}2\pi))y=\sin(\frac13\cdot(x-12\pi))y=\sin(\frac13\cdot(x-1/2\pi))y=\sin(\frac13\cdot *(x-1/2\pi))y=\sin(\frac13*(x-1/2\pi))y=\sin(\frac133*(x-1/2\pi))y=\sin(\frac{1}{\placeholder{}}3*(x-1/2\pi))y=\sin(13*(x-1/2\pi))y=\sin(1/3*(x-1/2\pi))y=si(1/3*(x-1/2\pi))y=s(1/3*(x-1/2\pi))y=(1/3*(x-1/2\pi))y=s(1/3*(x-1/2\pi))y=si(1/3*(x-1/2\pi))y=si(1/3*(x-1/2\pi))y=s(1/3*(x-1/2\pi))y=(1/3*(x-1/2\pi))y=s(1/3*(x-1/2\pi))y=si(1/3*(x-1/2\pi))
Voorbeeld 3: transformaties herleiden voor de sinus
Gegeven is de functief(x)=1+2\sin(3\left(x-\frac12\pi\right))f(x)=1+2\sin(3(x-\frac12\pi)f(x)=1+2\sin(3(x-\frac12\pi))f(x)=1+2\sin(3(x-\frac122\pi))f(x)=1+2\sin(3(x-\frac{1}{\placeholder{}}2\pi))f(x)=1+2\sin(3(x-12\pi))f(x)=1+2\sin(3(x-1/2\pi))f(x)=1+2si(3(x-1/2\pi))f(x)=1+2s(3(x-1/2\pi))f(x)=1+2(3(x-1/2\pi))f(x)=1+2s(3(x-1/2\pi))f(x)=1+2si(3(x-1/2\pi)). Met welke transformaties is de grafiek vanontstaan uit de standaardgrafiek vany=\sin(x)y=si(x)y=s(x)y=(x)y=s(x)y=si(x)?
We werken van binnen naar buiten (dus eerst de transformaties diebeïnvloeden, dan diebeïnvloeden):
1.Vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met\frac13\frac{1}{\placeholder{}}11/: De factorbij debetekent dat de grafiek horizontaal wordt samengedrukt met factor\frac13\frac{1}{\placeholder{}}11/. De functie wordt:y=\sin(3x)y=si(3x)y=s(3x)y=(3x)y=s(3x)y=si(3x).
2.Horizontale translatie met\left(\frac12\pi,0\right)\left(\frac12\pi,0\right)\left(\frac{1}{\placeholder{}}\pi,0\right)\left(1\pi,0\right)\left(1/\pi,0\right)\left(1/2\pi,0\right): Dex-\frac12\pix-\frac{1}{\placeholder{}}\pix-1\pix-1/\pix - 1/2 πx-1x-1/x-1/2in de haakjes betekent een verschuiving van\frac12\pi\frac{1}{\placeholder{}}\pi1\pi1/\pinaar rechts. De functie wordt:y=\sin\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right)y=si\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right)y=s\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right)y=\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right)y=s\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right)y=si\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right)y=sin\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right)y=sin\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right))y=sin(3\left(x-\frac12\pi\right))y=sin(3(x-\frac12\pi)y=sin(3(x-\frac12\pi))y=sin(3(x-\frac{1}{\placeholder{}}\pi))y=sin(3(x-1\pi))y=sin(3(x-1/\pi)).
3.Vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met: De factorvoor de sinus betekent dat de grafiek verticaal wordt uitgerekt met factor(amplitude wordt). De functie wordt:y=2\sin\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right)y=2\sin\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right))y=2\sin(3\left(x-\frac12\pi\right))y=2\sin(3(x-\frac12\pi)y=2\sin(3(x-\frac12\pi))y=2\sin(3(x-\frac{1}{\placeholder{}}\pi))y=2\sin(3(x-1\pi))y=2\sin(3(x-1/\pi))y=2\sin(3(x-1/2\pi))y=2si(3(x-1/2\pi))y=2s(3(x-1/2\pi))y=2(3(x-1/2\pi))y=2s(3(x-1/2\pi))y=2si(3(x-1/2\pi)).
4.Verticale translatie met\left(0,1\right): Deachter de sinus betekent dat de hele grafiekeenheid omhoog verschuift (evenwichtsstand wordt). De functie wordt:y=1+2\sin\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right)y=1+2\sin\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right))y=1+2\sin(3\left(x-\frac12\pi\right))y=1+2\sin(3(x-\frac12\pi)y=1+2\sin(3(x-\frac12\pi))y=1+2\sin(3(x-\frac{1}{\placeholder{}}\pi))y=1+2\sin(3(x-1\pi))y=1+2\sin(3(x-1/\pi))y=1+2\sin(3(x-1/2\pi))y=1+2si(3(x-1/2\pi))y=1+2s(3(x-1/2\pi))y=1+2(3(x-1/2\pi))y=1+2s(3(x-1/2\pi))y=1+2ss(3(x-1/2\pi))y=1+2s(3(x-1/2\pi))y=1+2si(3(x-1/2\pi)).
Voorbeeld 4: transformaties herleiden voor de cosinus
Gegeven is de functief(x)=\frac12+3\cos\left(\frac14\left(x-\frac13\pi\right)\right)f(x)=\frac12+3\cos\left(\frac14\left(x-\frac13\pi\right)\right))f(x)=\frac12+3\cos(\frac14\left(x-\frac13\pi\right))f(x)=\frac12+3\cos(\frac14(x-\frac13\pi)f(x)=\frac12+3\cos(\frac14(x-\frac13\pi))f(x)=\frac12+3\cos(\frac14(x-\frac133\pi))f(x)=\frac12+3\cos(\frac14(x-\frac13))f(x)=\frac12+3\cos(\frac14(x-\frac13\pi))f(x)=\frac12+3\cos(\frac14(x-\frac133\pi))f(x)=\frac12+3\cos(\frac14(x-\frac{1}{\placeholder{}}3\pi))f(x)=\frac12+3\cos(\frac14(x-13\pi))f(x)=\frac12+3\cos(\frac14(x-1/3\pi))f(x)=\frac12+3\cos(\frac144(x-1/3\pi))f(x)=\frac12+3\cos(\frac{1}{\placeholder{}}4(x-1/3\pi))f(x)=\frac12+3\cos(14(x-1/3\pi))f(x)=\frac12+3\cos(1/4(x-1/3\pi))f(x)=\frac12+3co(1/4(x-1/3\pi))f(x)=\frac12+3c(1/4(x-1/3\pi))f(x)=\frac12+3(1/4(x-1/3\pi))f(x)=\frac12+3c(1/4(x-1/3\pi))f(x)=\frac12+3co(1/4(x-1/3\pi))f(x)=\frac12+3cos(1/4(x-1/3\pi))f(x)=\frac{1}{\placeholder{}}+3cos(1/4(x-1/3\pi))f(x)=1+3cos(1/4(x-1/3\pi))f(x)=1/+3cos(1/4(x-1/3\pi)). Met welke transformaties is de grafiek vanontstaan uit de standaardgrafiek vany=\cos(x)y=co(x)y=c(x)y=(x)y=c(x)y=co(x)?
We werken ook hier van binnen naar buiten:
1.Vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met: De factor\frac14\frac{1}{\placeholder{}}11/bij debetekent dat de grafiek horizontaal wordt uitgerekt met factor. De functie wordt:y=\cos\left(\frac14x\right)y=\cos\frac14x)y=\cos(\frac14x)y=\cos(\frac144x)y=\cos(\frac{1}{\placeholder{}}4x)y=\cos(14x)y=\cos(1/4x)y=co(1/4x)y=c(1/4x)y=(1/4x)y=c(1/4x)y=co(1/4x).
2.Horizontale translatie met\left(\frac13\pi,0\right)\left(\frac133\pi,0\right)\left(\frac{1}{\placeholder{}}3\pi,0\right)\left(13\pi,0\right)\left(1/3\pi,0\right): Dex-\frac13\pix-\frac{1}{\placeholder{}}\pix-1\pix-1/\piin de haakjes betekent een verschuiving van\frac13\pi\frac{1}{\placeholder{}}\pi1\pi1/\pinaar rechts. De functie wordt:y=\cos\left(\frac14\left(x-\frac13\pi\right)\right)y=\cos\left(\frac14\left(x-\frac13\pi\right)\right))y=\cos(\frac14\left(x-\frac13\pi\right))y=\cos(\frac14(x-\frac13\pi)y=\cos(\frac14(x-\frac13\pi))y=\cos(\frac14(x-\frac{1}{\placeholder{}}\pi))y=\cos(\frac14(x-1\pi))y=\cos(\frac14(x-1/\pi))y=\cos(\frac14(x-1/3\pi))y=co(\frac14(x-1/3\pi))y=c(\frac14(x-1/3\pi))y=(\frac14(x-1/3\pi))y=c(\frac14(x-1/3\pi))y=co(\frac14(x-1/3\pi))y=cod(\frac14(x-1/3\pi))y=co(\frac14(x-1/3\pi))y=c(\frac14(x-1/3\pi))y=(\frac14(x-1/3\pi))y=c(\frac14(x-1/3\pi))y=co(\frac14(x-1/3\pi))y=cos(\frac14(x-1/3\pi))y=cos(\frac144(x-1/3\pi))y=cos(\frac{1}{\placeholder{}}4(x-1/3\pi))y=cos(14(x-1/3\pi)).
3.Vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met: De factorvoor de cosinus betekent dat de grafiek verticaal wordt uitgerekt met factor(amplitude wordt). De functie wordt:y=3\cos\left(\frac14\left(x-\frac13\pi\right)\right)y=3\cos(\frac14\left(x-\frac13\pi\right)y=3\cos(\frac14(x-\frac13\piy=3\cos(\frac14(x-\frac13\pi)y=3\cos(\frac14(x-\frac13\pi))y=3\cos(\frac14(x-\frac{1}{}\pi))y=3\cos(\frac14(x-\frac14\pi))y=3\cos(\frac14(x-\frac{1}{\placeholder{}}\pi))y=3\cos(\frac14(x-1\pi))y=3\cos(\frac14(x-1/\pi))y=3\cos(\frac14(x-1/3\pi))y=3\cos(\frac{1}{\placeholder{}}(x-1/3\pi))y=3\cos(1(x-1/3\pi))y=3\cos(1/(x-1/3\pi))y=3\cos(1/4(x-1/3\pi))y=3co(1/4(x-1/3\pi))y=3c(1/4(x-1/3\pi))y=3(1/4(x-1/3\pi))y=3c(1/4(x-1/3\pi))y=3co(1/4(x-1/3\pi)).
4.Verticale translatie met\left(0,\frac12\right)\left(0,\frac{1}{\placeholder{}}\right)\left(0,1\right)\left(0,1/\right)\left(0,1/2\right)\left(0,1/2\right)\left(0,1/2\right)\left(0,1/2\right): De+\frac12+\frac{1}{\placeholder{}}+1+1/achter de cosinus betekent dat de hele grafiek\frac12\frac{1}{\placeholder{}}11/eenheid omhoog verschuift (evenwichtsstand wordt\frac12\frac{1}{\placeholder{}}11/). De functie wordt:y=\frac12+3\cos\left(\frac14\left(x-\frac13\pi\right)\right)y=\frac12+3\cos\left(\frac14\left(x-\frac13\pi\right)\right))y=\frac12+3\cos(\frac14\left(x-\frac13\pi\right))y=\frac12+3\cos(\frac14(x-\frac13\pi)y=\frac12+3\cos(\frac14(x-\frac13\pi))y=\frac12+3\cos(\frac14(x-\frac{1}{\placeholder{}}\pi))y=\frac12+3\cos(\frac14(x-1\pi))y=\frac12+3\cos(\frac14(x-1/\pi))y=\frac12+3\cos(\frac14(x-1/3\pi))y=\frac12+3\cos(\frac144(x-1/3\pi))y=\frac12+3\cos(\frac{1}{\placeholder{}}4(x-1/3\pi))y=\frac12+3\cos(14(x-1/3\pi))y=\frac12+3\cos(1/4(x-1/3\pi))y=\frac12+3co(1/4(x-1/3\pi))y=\frac12+3c(1/4(x-1/3\pi))y=\frac12+3(1/4(x-1/3\pi))y=\frac12+3c(1/4(x-1/3\pi))y=\frac12+3co(1/4(x-1/3\pi))y=\frac12+3cos(1/4(x-1/3\pi))y=\frac{1}{\placeholder{}}+3cos(1/4(x-1/3\pi))y=1+3cos(1/4(x-1/3\pi))y=1/+3cos(1/4(x-1/3\pi)).
