Transformatie bij goniometrische functies

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen hoe de functiesf(x)=\sin(x)eng(x)=\cos(x)veranderen als de functie verticaal verschoven wordt.

•Je kunt uitleggen hoe de functiesf(x)=\sin(x)eng(x)=\cos(x)veranderen als de functie vermenigvuldigd wordt ten opzichte van de x-as.

•Je kunt uitleggen hoe de functiesf(x)=\sin(x)eng(x)=\cos(x)veranderen als de functie vermenigvuldigd wordt ten opzichte van de y-as.

•Je kunt uitleggen hoe de functiesf(x)=\sin(x)eng(x)=\cos(x)veranderen als de functie horizontaal verschoven wordt.

•Je kunt de periode, de evenwichtsstand, de amplitude en de coördinaten van het beginpunt aflezen uit de algemene goniometrische formule.

•Je kunt de volgorde van transformaties herkennen en uitleggen waarom deze van invloed is op het eindresultaat.

•Je kunt een gegeven goniometrische functie ontleden in een reeks van transformaties vanuit de standaardfunctie.

Verticale translatie

Stel, je hebt de standaardfunctief(x)=\sin(x).Als we deze functie verticaal verschuiven met2eenheden omhoog, spreken we van een translatie\left(0,2\right).Dit betekent dat de y-waarden met2worden verhoogd. De nieuwe functie wordt dang(x)=2+\sin(x).

Wat verandert er door deze verticale verschuiving?

•De periode (de lengte van één volledige golf) blijft onveranderd:2\pi.

•De evenwichtsstand (de lijn waar de grafiek omheen slingert) verschuift mee. Was deze bijy=\sin(x)nog0{,}nu is hij2.

•De amplitude (de maximale uitwijking vanuit de evenwichtsstand) blijft onveranderd:1.

Voor de cosinusfunctie geldt precies hetzelfde: een verticale translatie van\left(0,2\right)bijf(x)=\cos(x)resulteert ing(x)=2+\cos(x).De periode en amplitude blijven gelijk, de evenwichtsstand wordt2.

Vermenigvuldigen ten opzichte van dex\textbf{-as}

Als we de standaardfunctief(x)=\sin(x)vermenigvuldigen ten opzichte van dex\textbf{-as}met2{,}dan betekent dit dat dey\text{-waarden}van de grafiek worden vermenigvuldigd met2.De nieuwe functie isg(x)=2\sin(x).

Wat verandert er hierdoor?

•De periode blijft onveranderd:2\pi.

•De evenwichtsstand blijft onveranderd:0.

•De amplitude is nu twee keer zo groot geworden. Was deze1{,}nu is hij2.

Ook voor de cosinusfunctie werkt dit identiek: vermenigvuldigen ten opzichte van dex\text{-as}met2bijf(x)=\cos(x)resulteert ing(x)=2\cos(x).De periode en evenwichtsstand blijven gelijk, de amplitude wordt2.

Vermenigvuldigen ten opzichte van dey\textbf{-as}

Laten wef(x)=\sin(x)vermenigvuldigen ten opzichte van dey\textbf{-as}met een factor\frac12.Dit betekent dat de grafiek horizontaal wordt samengedrukt. De nieuwe functie wordt dang(x)=\sin(2x).Merk op dat de factor2in de haakjes komt te staan, omgekeerd aan de vermenigvuldigingsfactor\frac12.

Wat verandert er hierdoor?

•De periode is nu de helft geworden. De grafiek loopt tweemaal zo snel. De periode is nuπin plaats van2\pi.

•De evenwichtsstand blijft onveranderd:0.

•De amplitude blijft onveranderd:1.

Voor de cosinusfunctie geldt hetzelfde: vermenigvuldigen ten opzichte van dey\text{-as}met\frac12bijf(x)=\cos(x)resulteert ing(x)=\cos(2x).De evenwichtsstand en amplitude blijven gelijk, de periode wordt de helft\left(\pi\right).

Horizontale translatie

Bijf(x)=\sin(x)passen we nu een horizontale translatie toe van\left(2,0\right).Dit betekent dat de grafiek2eenheden naar rechts verschuift. De nieuwe functie wordtg(x)=\sin(x-2).

Wat verandert er hierdoor?

•De periode blijft onveranderd:2\pi.

•De evenwichtsstand blijft onveranderd:0.

•De amplitude blijft onveranderd:1.

Waar heeft het dan wel invloed op? Op het beginpunt van de sinus. Het beginpunt van een sinusfunctie is per definitie het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat. Voorf(x)=\sin(x)is dit het punt\left(0,0\right).Bijg(x)=\sin(x-2)verschuift dit punt2eenheden naar rechts, dus naar\left(2,0\right).

Voor de cosinusfunctie geldt: een horizontale translatie van\left(2,0\right)bijf(x)=\cos(x)resulteert ing(x)=\cos(x-2).Periode, evenwichtsstand en amplitude blijven gelijk. Het beginpunt van een cosinusfunctie is per definitie een maximum. Voorf(x)=\cos(x)is dit het punt\left(0,1\right).Bijg(x)=\cos(x-2)verschuift dit punt2eenheden naar rechts, dus naar\left(2,1\right).

De algemene goniometrische functie

De transformaties die we zojuist hebben besproken, kunnen we samenvatten in de algemene formules voor goniometrische functies:

Voor de sinusfunctie:y=a+b\sin(c\left(x-d)\right.)

Voor de cosinusfunctie:y=a+b\cos(c\left(x-d)\right.)

Laten we kijken wat elke letter betekent:

•a:Dit getal staat voor de evenwichtsstand van de grafiek. Het is de verticale verschuiving (verticale translatie). Alsapositief is, schuift de grafiek omhoog; alsanegatief is, schuift de grafiek omlaag.

•b:Dit getal geeft de amplitude van de grafiek aan. Het is de vermenigvuldiging ten opzichte van dex\text{-as}.De amplitude is de absolute waarde vanb,oftewel|b|.Alsbnegatief is, is de grafiek bovendien gespiegeld in de evenwichtsstand.

•c:Dit getal heeft invloed op de periode van de grafiek. Het is de vermenigvuldiging ten opzichte van dey\text{-as}(met factor\frac{1}{c}).De periode is te berekenen met de formule:\text{periode }=\frac{2\pi}{c}.Hoe groterc,hoe kleiner de periode (en hoe sneller de golven elkaar opvolgen).

•d:Dit getal staat voor de horizontale translatie van de grafiek. Dit is dex\text{-coördinaat}van het beginpunt. Let op het minteken in de formule:x-d\text{.}Alsdpositief is, verschuift de grafiek naar rechts; alsdnegatief is, verschuift de grafiek naar links.

Het beginpunt van de functie is afhankelijk van of het een sinus- of cosinusfunctie is:

•Voor een sinusfunctiey=a+b\sin(c\left(x-d)\right.)is het beginpunt\left(d,a\right)\text{.}Dit is het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat.

•Voor een cosinusfunctiey=a+b\cos(c\left(x-d)\right.)is het beginpunt\left(d,a+b\right)\text{.}Dit is het punt waar de grafiek een maximum bereikt (ervan uitgaande datb>0. Alsb<0\text{,}bereikt de grafiek in het punt\left(d,a+b\right)een minimum).

Rekenvoorbeeld voor een sinusfunctie

Gegeven is de functief(x)=3+\frac14\sin(\frac15\left(x-\pi)\right.).Bepaal de periode, de evenwichtsstand, de amplitude en de coördinaten van het beginpunt.

Vergelijk de functie met de algemene formuley=a+b\sin(c\left(x-d)\right.):

•a = 3

•b=\frac14

•c=\frac15

•d = π

Berekeningen:

•Periode:\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\frac15}=2\pi\cdot5=10\pi.

•Evenwichtsstand:a=3.

•Amplitude:b=\frac14.

•Beginpunt:\left(d,a\right)=\left(\pi,3\right).De grafiek gaat in het punt\left(\pi,3\right)stijgend door de evenwichtsstand.

Rekenvoorbeeld voor een cosinusfunctie

Gegeven is de functief(x)=-5+2\cos(6\left(x-\frac14\pi\right)).Bepaal de periode, de evenwichtsstand, de amplitude en de coördinaten van het beginpunt.

Vergelijk de functie met de algemene formuley=a+b\cos(c\left(x-d)\right.):

•a = -5

•b = 2

•c = 6

•d=\frac14\pi

Berekeningen:

•Periode:\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{6}=\frac13\pi.

•Evenwichtsstand:a=-5.De hele grafiek is5eenheden omlaag geschoven.

•Amplitude:b=2.

•Beginpunt:\left(d,a+b\right)=\left(\frac14\pi,-5+2\right)=\left(\frac14\pi,-3\right).De grafiek heeft in het punt\left(\frac14\pi,-3\right)een maximum.

De volgorde van transformaties

Voorbeeld 1: verticale rekking en verticale verschuiving

We starten mety=\sin(x).

Scenario A: eerst vermenigvuldigen ten opzichte van dex\textbf{-as}(factor2\textbf{),}dan verticale translatie\left(0,3\right)\textbf{.}

1.Vermenigvuldigen ten opzichte van dex\text{-as}met2:y=2\sin(x).

2.Translatie\left(0,3\right):y-3=2\sin(x),dusy=3+2\sin(x).

Scenario B: eerst verticale translatie\left(0,3\right)\textbf{,}dan vermenigvuldigen ten opzichte van dex\textbf{-as}(factor2\textbf{).}

1.Translatie\left(0,3\right):y-3=\sin(x),dusy=3+\sin(x).

2.Vermenigvuldigen ten opzichte van dex\text{-as}met2:ywordt vermenigvuldigd met2.Dit betekent dat alles aan de rechterkant met2vermenigvuldigd moet worden:y=2\cdot(3+\sin(x)),,dusy=6+2\sin(x).

Je ziet dat de eindfuncties verschillen\left(y=3+2\sin(x)\right)versusy=6+2\sin(x)).Dit komt doordat in scenario B eerst de hele grafiek omhoog is geschoven en daarna alley\text{-waarden}(inclusief de verschuiving) zijn uitgerekt.

Voorbeeld 2: horizontale translatie en horizontale rekking

We starten mety=\sin(x).

Scenario A: eerst horizontale translatie\left(\frac12\pi,0\right)\textbf{,}dan vermenigvuldiging ten opzichte van dey\textbf{-as}met factor3\textbf{.}

1.Translatie\left(\frac12\pi,0\right):y=\sin(x-\frac12\pi).

2.Vermenigvuldiging ten opzichte van dey\text{-as}met factor3(factor\frac13in de functie):y=\sin\left(\frac13x-\frac12\pi\right)\text{.}

Scenario B: eerst vermenigvuldiging ten opzichte van dey\textbf{-as}met factor3\textbf{,}dan horizontale translatie\left(\frac12\pi,0\right)\textbf{.}

1.Vermenigvuldiging ten opzichte van dey\text{-as}met factor3(factor\frac13in de functie):y=\sin\left(\frac13x\right).

2.Translatie\left(\frac12\pi,0\right):In dit geval betekent het dat elkexwordt vervangen doorx-\frac12\pi.De factor\frac13blijft voor de haakjes staan:y=\sin\left(\frac13\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)=\sin\left(\frac13x-\frac16\pi\right)

Voorbeeld 3: transformaties herleiden voor de sinus

Gegeven is de functief(x)=1+2\sin(3\left(x-\frac12\pi\right)).Met welke transformaties is de grafiek vanfontstaan uit de standaardgrafiek vany=\sin(x)?

We werken van binnen naar buiten (dus eerst de transformaties diexbeïnvloeden, dan dieybeïnvloeden):

1.Vermenigvuldiging ten opzichte van dey\textbf{-as}met\frac13:De factor3bij dexbetekent dat de grafiek horizontaal wordt samengedrukt met factor\frac13.De functie wordt:y=\sin(3x).

2.Horizontale translatie met\left(\frac12\pi,0\right):Dex-\frac12\piin de haakjes betekent een verschuiving van\frac12\pinaar rechts. De functie wordt:y=\sin\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right).

3.Vermenigvuldiging ten opzichte van dex\textbf{-as}met2:De factor2voor de sinus betekent dat de grafiek verticaal wordt uitgerekt met factor2(amplitude wordt2).De functie wordt:y=2\sin\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right).

4.Verticale translatie met\left(0,1\right):De+1achter de sinus betekent dat de hele grafiek1eenheid omhoog verschuift (evenwichtsstand wordt1).De functie wordt:y=1+2\sin\left(3\left(x-\frac12\pi\right)\right).

Voorbeeld 4: transformaties herleiden voor de cosinus

Gegeven is de functief(x)=\frac12+3\cos\left(\frac14\left(x-\frac13\pi\right)\right).Met welke transformaties is de grafiek vanfontstaan uit de standaardgrafiek vany=\cos(x)?

We werken ook hier van binnen naar buiten:

1.Vermenigvuldiging ten opzichte van dey\textbf{-as}met4:De factor\frac14bij dexbetekent dat de grafiek horizontaal wordt uitgerekt met factor4.De functie wordt:y=\cos\left(\frac14x\right).

2.Horizontale translatie met\left(\frac13\pi,0\right):Dex-\frac13\piin de haakjes betekent een verschuiving van\frac13\pinaar rechts. De functie wordt:y=\cos\left(\frac14\left(x-\frac13\pi\right)\right).

3.Vermenigvuldiging ten opzichte van dex\textbf{-as}met3:De factor3voor de cosinus betekent dat de grafiek verticaal wordt uitgerekt met factor3(amplitude wordt3).De functie wordt:y=3\cos\left(\frac14\left(x-\frac13\pi\right)\right).

4.Verticale translatie met\left(0,\frac12\right):De+\frac12achter de cosinus betekent dat de hele grafiek\frac12eenheid omhoog verschuift (evenwichtsstand wordt\frac12).De functie wordt:y=\frac12+3\cos\left(\frac14\left(x-\frac13\pi\right)\right).