De afstand van een punt tot een cirkel

Leerdoelen

•Je kunt de afstand van een punt tot een cirkel berekenen.

Wat is de afstand van een punt tot een cirkel?

De afstand van een punt tot een cirkel is de kortste afstand tussen dit punt en een punt op de cirkel. Deze afstand is altijd de loodrechte afstand, gemeten langs de lijn die door het middelpunt van de cirkel en het betreffende punt loopt. Een cirkel is een verzameling van alle punten die even ver van een vast punt liggen. Dit vaste punt is het middelpunten de vaste afstand is de straal

Hoe bereken je de afstand bij een punt binnen de cirkel?

Als een puntbinnen de cirkel ligt, bereken je de afstand van punttot de cirkel door de afstand tussen middelpunten puntaf te trekken van de straal van de cirkel. De formule is:\text{afstand}(A,C)=\text{ straal}-\text{ afstand}(A,M).\text{afstand}(A,C)=\text{ straal}-\text{ afstand}(A,M).\text{afstand}(A,C)=\text{ straal}-\text{afstand}(A,M).\text{afstand}(A,C)=\text{ straal}-\text{afstand}(A,M).

Hoe bereken je de afstand bij een punt buiten de cirkel?

Als een puntbuiten de cirkel ligt, bereken je de afstand van punttot de cirkel door de straal af te trekken van de afstand tussen middelpunten punt De formule is:\text{afstand}(B,C)=\text{ afstand}(B,M)-\text{ straal}.\text{afstand}(B,C)=\text{ afstand}(B,M)-\text{ straal}.\text{afstand}(B,C)=\text{afstand}(B,M)-\text{ straal}.\text{afstand}(B,C)=\text{afstand}(B,M)-\text{ straal}.

Hoe bepaal je het middelpunt en de straal van een cirkelvergelijking?

Om het middelpunten de straalvan een cirkel te vinden, gebruik je de methode van kwadraatafsplitsen. Deze methode zet een cirkelvergelijking van de vormx^2+y^2+ax+by+c=0x^2+y^2+ax+by+=0x^2+y^2+ax+by+C=0x^2+y^2+ax+y+C=0x^2+y^2+ax+By+C=0x^2+y^2+x+By+C=0om naar de standaardvormHet middelpuntheeft dan coördinaten en de straal is

Voorbeeld kwadraatafsplitsen

Gegeven is de cirkelvergelijking:

1.Groepeer de termen metxen

2.Maak kwadraten door de helft van de coëfficiënt vanxenyte nemen en te kwadrateren, en de overbodige constante af te trekken:

1.Voorhalveerdit isDusTrek de extraaf:

2.Voorhalveerdit isDusTrek de extraaf:

3.Substitueer de kwadraten terug in de vergelijking en vereenvoudig:

4.Lees het middelpunt en de straal af:

1.MiddelpuntM:\ (1,-3)M:(1,-3)M:(1,-3)

2.Straalr=\sqrt{4}=2r\sqrt{4}=2\sqrt{4}=2r:\sqrt{4}=2r:\sqrt{4}=2r:\sqrt{4}=2r:\sqrt{4}=2

Hoe bereken je de afstand tussen twee punten?

De afstand tussen twee puntenenbereken je met behulp van de stelling van Pythagoras. De formule is:

Voorbeeldberekening afstand tussenen

1.Bereken het verschil van dein het kwadraat:

2.Bereken het verschil van dey\text{-coördinaten}in het kwadraat:

3.Tel de resultaten op en neem de wortel:

Voorbeeldberekening: afstand van punt(buiten de cirkel) tot cirkel

Gegeven is cirkelC:\ x^2+y^2-2x+6y+6=0C:\ x^2+y^2-2x+6y+6=0,C:x^2+y^2-2x+6y+6=0,C:x^2+y^2-2x+6y+6=0,en puntA(4,-1).A:(4,-1).A:(4,-1).A:(4,-1).A:(4,-1).

1.BepaalenvanMet kwadraten splitsen (zie hierboven) isenr=2.

2.Berekend(A,M):Gebruik de stelling van Pythagoras.

3.Berekend(A,C):Puntligt buiten de cirkel. De formule isd(A,M)-\ \text{straal}.d(A,M)-\text{straal}.d(A,M)-\text{straal}. Dit wordt ook genoteerd als

Voorbeeldberekening: afstand van punt(binnen de cirkel) tot cirkel

Gegeven is cirkelC:\ x^2+y^2-2x+6y+6=0C:x^2+y^2-2x+6y+6=0C:x^2+y^2-2x+6y+6=0en punt

1.BepaalenvanCirkelis hetzelfde als in het vorige voorbeeld, dusisenr=2.r2.ri2.

2.Berekend(B,M):d(A,M):Gebruik de stelling van Pythagoras.

3.Berekend(B,C):d(,C):d(V,C):d(A,C):Puntligt binnen de cirkel. De formule is\text{straal }-\ d(B,M).\text{straal }-d(B,M).\text{straal }-d(B,M).

Hoe bereken je de afstand tussen een cirkel en een lijn?

De afstand tussen een cirkel en een lijn bereken je door de loodrechte afstand van het middelpunt van de cirkel tot de lijn te bepalen, en daar vervolgens de straal van de cirkel van af te trekken. Dit geldt wanneer de lijn buiten de cirkel ligt.

[AFBEELDING: Afstand tussen een cirkel en een lijn] Alt-tekst: Een rode cirkel C met middelpunt M. Een lijn k ligt buiten de cirkel. Een blauwe lijn l gaat door M en staat loodrecht op k, en snijdt k in punt S. Het kortste gele lijnstuk van de cirkelrand tot S geeft de afstand tussen de cirkel en lijn k weer.

Stappenplan voor afstand van een cirkel tot een lijn

1.Bepaal het middelpunten de straalvan de cirkelmet behulp van kwadraatafsplitsen.

2.Stel de vergelijking op van lijnldie loodrecht op een lijnkstaat en door middelpuntgaat. Als lijnkde vormheeft, dan heeft een lijnldie loodrecht hierop staat de vorm(of-bx+ay=d).-bx+ay=).-bx+ay=D).-bx+y=D).-bx+Ay=D).-x+Ay=D).

3.Bereken het snijpuntvan lijnlen lijnk.kDit doe je door een stelsel van vergelijkingen op te lossen.

4.Bereken de afstand tussenenmet de stelling van Pythagoras.

5.Trek de straal van de cirkel af van de berekendeom de afstand tussen de cirkel en de lijn te vinden.

Voorbeeldberekening: afstand van cirkeltot lijnk

Gegeven is cirkelC:\ x^2+y^2+4x-8y-5=0C:x^2+y^2+4x-8y-5=0C:x^2+y^2+4x-8y-5=0en lijnk:\ 2x-y=7.k:2x-y=7.k:2x-y=7.

1.Bepaalenvan

1.Kwadraatafsplitsen:

2.MiddelpuntM(-2,4),straalr=\sqrt{25}=5.

2.Stel lijnlop (loodrecht opken door

1.Lijnk:\ 2x-y=7.k:2x-y=7.k:2x-y=7.

2.Een lijnlloodrecht opkheeft de vorm(De coëfficiënt vaninkisdie komt voorinl.lDe coëfficiënt vaninkllkljisdie komt voorinlmet een tegengesteld teken.)

3.Vulinlomdte vinden:

4.Lijnlis:Vermenigvuldig metom positieve begincoëfficiënt te krijgen:

3.Bereken snijpuntvanlenk:

1.Los het stelsel van vergelijkingen op: \begin{cases}2x-y=7\\ x+2y=6\end{cases}\begin{cases}2x-y=7\\ x+2y=\end{cases}\begin{cases}2x-y=7\\ x+2y\end{cases}\begin{cases}2x-y=7\\ x+2\end{cases}\begin{cases}2x-y=7\\ x+\end{cases}\begin{cases}2x-y=7\\ x\end{cases}\begin{cases}2x-y=7\\ \end{cases}\begin{cases}2x-y=7\\ b\end{cases}\begin{cases}2x-y=7\\ bx\end{cases}\begin{cases}2x-y=7\\ b\end{cases}\begin{cases}2x-y=\\ b\end{cases}\begin{cases}2x-y\\ b\end{cases}\begin{cases}2x-\\ b\end{cases}\begin{cases}2x\\ b\end{cases}\begin{cases}2\\ b\end{cases}\begin{cases}\\ b\end{cases}\begin{cases}a \\b \end{cases}

2.Pas eliminatie toe voorx..Vermenigvuldig de onderste vergelijking met \begin{cases}2x-y=7\\ 2x+4y=12\end{cases}\begin{cases}2x-y=7\\ 2x+4y=1\end{cases}\begin{cases}2x-y=7\\ 2x+4y=\end{cases}\begin{cases}2x-y=7\\ 2x+4y=6\end{cases}\begin{cases}2x-y=7\\ 2x+y=6\end{cases}\begin{cases}2x-y=7\\ 2x+2y=6\end{cases}

3.Trek de vergelijkingen van elkaar af:

4.Vulin in x+2\cdot1=6\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=4x+21=6\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=4x+21=6\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=4x+21=6\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=4x+21=6\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=4x+21=6\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=4x+21=6\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=4x+2(1=6\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=4

5.SnijpuntS(4,1).

4.Bereken

1.M(-2,4),\ S\left(4,1\right).M(-2,4),\ S4,1).M(-2,4),\ S:4,1).M(-2,4),\ S:(4,1).M(-2,4),S:(4,1).M(-2,4),S:(4,1).M(-2,4),S:(4,1).

2.

3.Vereenvoudig de wortel:

5.Bereken

1.De lijnkligt buiten de cirkel. De formule is

2.Dit wordt ook genoteerd als