De afstand tussen twee punten

Leerdoelen

•Je kunt de afstand tussen twee punten berekenen.

•Je kunt het midden van een lijnstuk tussen twee punten berekenen.

•Je kunt bovenstaande leerdoelen toepassen bij moeilijkere situaties.

De afstand tussen twee punten berekenen

Wanneer je twee punten in een assenstelsel hebt, kun je berekenen hoe groot de afstand tussen twee punten is. Deze afstand wordt genoteerd alsd\left(A,B\right).d\left(A,B\right)d\left(A,B\right)d\left(A,B\right)d\left(A,\right)d\left(A\right)d\left(\right)dDe letterkomt van het Engelse woord distance (afstand).

De basis: Pythagoras in een assenstelsel

Stel, je hebt twee puntenenmet coördinatenenin een assenstelsel. Je wilt de lengte van het lijnstukberekenen. Je kunt dan een hulppunttoevoegen. Hiermee creëer je een rechthoekige driehoekwaarbijde schuine zijde (hypotenusa) is.

De lengte van de rechthoekszijdeis het verschil in dex\text{-coördinaten}x\text{-coördinaten}x\text{-cordinaten}x\text{-cordinaten }xxxxxxxxxxvanennamelijkDe lengte van de rechthoekszijdeis het verschil in dey\text{-coördinaten}vanennamelijk

Volgens de stelling van Pythagoras geldt voor een rechthoekige driehoek dat het kwadraat van de schuine zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. Voor driehoekbetekent dit: AB^2{}=AP^2+BP^2AB^2{}=AP^2+BPAB^2{}=AP^2+BP^AB^2{}=AP^2+BP^{2}AB^2{}=AP+BP^{2}AB^2{}=A+BP^{2}AB^2{}=AP+BP^{2}AB^2{}=AP^+BP^{2}AB^2{}=AP^{2}+BP^{2}AB{}=AP^{2}+BP^{2}AB^{}=AP^{2}+BP^{2} Omte vinden, neem je de wortel van beide kanten: AB=\sqrt{AP^2+BP^2}AB=\sqrt{AP^2+BP^2})AB=\sqrt{AP^2+BP^2}{2})AB=\sqrt{AP^2+BP^2}^{2})AB=\sqrt{AP^2+BP^2}P^{2})AB=\sqrt{AP^2+BP^2}BP^{2})AB=\sqrt{AP^2+BP^2}+BP^{2})AB=\sqrt{AP^2+BP^2}{2}+BP^{2})AB=\sqrt{AP^2+BP^2}^{2}+BP^{2})AB=\sqrt{AP^2+BP^2}P^{2}+BP^{2})AB=\sqrt{AP^2+BP^2}AP^{2}+BP^{2})AB=\sqrt{AP^2+BP^2}(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})AB=(AP^{2}+BP^{2})

Omdat het kwadrateren van een negatief getal ook positief wordt, hoef je de absolute waarde-strepen niet te gebruiken in de formule: AP^2{}=(x_{B}-x_{A})^2AP^2{}=(x-x_{A})^2AP^2{}=(xB-x_{A})^2AP^2{}=(xB-x)^2AP^2{}=(xB-xA)^2AP{}=(xB-xA)^2AP^{}=(xB-xA)^2AP^{2}=(xB-xA)^2AP^{2}=(xB-xA)AP^{2}=(xB-xA)^AP^{2}=(xB-xA)^{2} BP^2=\left(y_{B}-y_{A}\right)^2BP^2=\left(y_{B}-y_{A}\right)BP^2=\left(y_{B}-y_{A}\right)^BP^2=\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}BP^2=\left(y_{B}-y\right)^{2}BP^2=\left(y_{B}-yA\right)^{2}BP^2=\left(y-yA\right)^{2}BP^2=y-yA)^{2}BP^2=yB-yA)^{2}BP^2yB-yA)^{2}BP^2-yB-yA)^{2}BP^2yB-yA)^{2}BP^2qyB-yA)^{2}BP^2q=yB-yA)^{2}BP^2q=(yB-yA)^{2}BP^2q=(yB-yA)^{2}BP=(yB-yA)^{2}BP^=(yB-yA)^{2}

Afstandsformule

De algemene formule voor de afstanddtussen twee puntenenis dus: Hierbij staat dedvoor 'distance', het Engelse woord voor afstand.

Rekenvoorbeeld 1a: Afstand tussenen

Gegeven zijn de puntenenBereken de afstand tussenen We vullen de coördinaten in de afstandsformule in:

•

•

•

•

Je kunt\sqrt{20}ook vereenvoudigen:is te schrijven alsOmdateen kwadraat is, kun je de wortel vannemen (dat isen die voor de wortel zetten.

Hoe bepaal je het middelpunt van een lijnstuk in een assenstelsel?

Naast de afstand tussen twee punten is het ook belangrijk om te weten hoe je het middelpunt van een lijnstuk kunt vinden. Dit middelpuntis precies halverwege de twee gegeven puntenen

De middelpuntformule

Het middelpuntvan een lijnstukwordt berekend door het gemiddelde te nemen van deen het gemiddelde van dey\text{-coördinaten}van de puntenen De coördinaten van het middelpuntzijn: x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}x_{M}=\frac{(x_{A}+x_{B}}{2}x_{M}=\frac{(x_{A}+x_{B})}{2}x_{M}=\frac{(x_{A}+x_{B})}{\placeholder{}} y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}y_{M}=\frac{(y_{A}+y_{B}}{2}y_{M}=\frac{(y_{A}+y_{B})}{2}y_{M}=\frac{(y_{A}+y_{B})}{\placeholder{}}

Rekenvoorbeeld 1b: Middelpunt van lijnstukmeten

We gebruiken dezelfde punten als bij het berekenen van de afstand:en x_{M}=\frac{2+6}{2}=\frac82=4x_{M}=\frac{(2+6}{2}=\frac82=4x_{M}=\frac{(2+6)}{2}=\frac82=4x_{M}=\frac{(2+6)}{2}=\frac{8}{\placeholder{}}=4x_{M}=\frac{(2+6)}{2}=8=4x_{M}=\frac{(2+6)}{2}=8/=4x_{M}=\frac{(2+6)}{2}=8/2=4x_{M}=\frac{(2+6)}{2}2=8/2=4x_{M}=\frac{(2+6)}{\placeholder{}}2=8/2=4x_{M}=(2+6)2=8/2=4 y_{M}=\frac{3+5}{2}=\frac82=4y_{M}=\frac{(3+5}{2}=\frac82=4y_{M}=\frac{(3+5)}{2}=\frac82=4y_{M}=\frac{(3+5)}{\placeholder{}}=\frac82=4y_{M}=(3+5)=\frac82=4y_{M}=(3+5)/=\frac82=4y_{M}=(3+5)/2=\frac82=4y_{M}=(3+5)/2=\frac{8}{\placeholder{}}=4y_{M}=(3+5)/2=8=4y_{M}=(3+5)/2=8/=4 Het middelpuntvan het lijnstukis dus

Toepassingen met onbekendenp

De formules voor afstand en middelpunt zijn niet alleen nuttig voor concrete getallen, maar ook bij vraagstukken waarin een of meer coördinaten onbekend zijn en worden uitgedrukt in een variabele, zoalsp.

Wat doe je als de coördinaten van een punt een onbekende bevatten?

Soms zijn de coördinaten van een punt niet alleen getallen, maar bevatten ze ook een onbekende zoalsp.Dan kun je het middelpunt van het lijnstuk uitdrukken in die variabele.

Rekenvoorbeeld 2a: Middelpuntuitdrukken inpvooren

Gegeven zijn de puntenenDruk de coördinaten van het middelpuntvan lijnstukuit in

•x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{3+(p+1)}{2}x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=(\frac{3+(p+1)}{2}x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=(3\frac{3+(p+1)}{2}x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=(3+\frac{3+(p+1)}{2}x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=(3+\frac{3+(p+1))}{2}x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=(3+\frac{3(p+1))}{2}x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=(3+\frac{(p+1))}{2}x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=(3+\frac{(p+1))}{\placeholder{}}x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=(3+(p+1))x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=(3+(p+1))/x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=(3+(p+1))/2x_{M}=\frac{(x_{A}+x_{B}}{2}=(3+(p+1))/2x_{M}=\frac{(x_{A}+x_{B})}{2}=(3+(p+1))/2x_{M}=\frac{(x_{A}+x_{B})}{\placeholder{}}=(3+(p+1))/2x_{M}=(x_{A}+x_{B})=(3+(p+1))/2x_{M}=(x_{A}+x_{B})/=(3+(p+1))/2x_M = (x_A + x_B) / 2 = (3 + (p + 1)) / 2x_{M}=(x_{A}+x_{B})/2=(3(p+1))/2

•x_{M}=\frac{p+4}{2}x_{M}=\frac{(p+4}{2}x_{M}=\frac{(p+4)}{2}x_{M}=\frac{(p+4)}{\placeholder{}}x_{M}=(p+4)x_{M}=(p+4)/

•

•y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{5+2p}{2}y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{(5+2p}{2}y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{(5+2p)}{2}y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{(5+2p)}{\placeholder{}}y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=(5+2p)y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=(5+2p)/y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=(5+2p)/2y_{M}=\frac{(y_{A}+y_{B}}{2}=(5+2p)/2y_{M}=\frac{(y_{A}+y_{B})}{2}=(5+2p)/2y_{M}=\frac{(y_{A}+y_{B})}{\placeholder{}}=(5+2p)/2y_{M}=(y_{A}+y_{B})=(5+2p)/2y_{M}=(y_{A}+y_{B})/=(5+2p)/2

•

• De coördinaten vanzijn dus

Wanneer ligt het middelpunt op een lijn?

Als de coördinaten van het middelpuntzijn uitgedrukt in een variabelep,pkun je soms berekenen voor welke waarde vanpdit middelpunt op een bepaalde lijn ligt.

Rekenvoorbeeld 2b: Het middelpuntop lijnk:\ y=8x-6k:y=8x-6k:y=8x-6

Bereken voor welkephet middelpuntM(0{,}5p+2,\ p+2{,}5)M(0{,}5p+2,\ p+25)M(0{,}5p+2,\ p+2,5)M(05p+2,\ p+2,5)M(0,5p+2,\ p+2,5)M(0,5p+2,p+2,5)M(0,5p+2,p+2,5)op de lijnkmet vergelijkingligt. Een punt ligt op een lijn als zijn coördinaten voldoen aan de vergelijking van die lijn. We vullen de coördinaten vanM<in de vergelijking van lijnkin:

•

•(p+2{,}5)=8\cdot(0{,}5p+2)-6(p+2{,}5)=8\cdot(05p+2)-6(p+2{,}5)=8\cdot(0,5p+2)-6(p+25)=8\cdot(0,5p+2)-6

•p+2{,}5=4p+16-6p+2{,}5=4+16-6p+2{,}5=4P+16-6p+25=4P+16-6p+2.5=4P+16-6

•p+2{,}5=4p+10p+2{,}5=4+10p+2{,}5=4P+10p+25=4P+10p+2.5=4P+10

Nu lossen we deze vergelijking op voorp::

•2{,}5-10=4p-p2{,}5-10=4p-2{,}5-10=4p-P2{,}5-10=4p-Pp2{,}5-10=4p-P2{,}5-10=4-P2{,}5-10=4P-P25-10=4P-P

•-7{,}5=3p-7{,}5=3-7{,}5=3P-75=3P

•p=-\frac{7{,}5}{3}p=-\frac{7{,}5}{\placeholder{}}p=-7{,}5p=-7{,}5/p=-7{,}5/3p=-75/3p=-7.5/3=-7.5/3

•p=-2{,}5p=-25p=-2.5=-2.5

Dus voorp=-2{,}5=-2{,}5P=-2{,}5P=-25ligt het middelpuntop lijnk..

Kun je de afstandsformule gebruiken als de coördinaten van een puntpvariabel zijn?

Net zoals je het middelpunt kunt uitdrukken in een variabelep,pkun je ook de afstandsformule gebruiken wanneer de coördinaten van de puntenpbevatten.

Rekenvoorbeeld 3a: Afstanduitdrukken inpvoorA(5,\ p)A(5,p)A(5,p)enB(3p+4,\ 2-p)B(3p+4,2-p)B(3p+4,2-p)

•Gegeven zijn de puntenA(5,\ p)A(5,\ )A(5,)A(5,)A(5,)enB(3p+4,\ 2-p).B(3p+4,\ 2-).B(3p+4,\ 2-P).B(3p+4,2-P).B(3p+4,2-P).B(3p+4,2-P).B(3+4,2-P).Druk de afstand tussenenuit inp.. We gebruiken de afstandsformule: Het is belangrijk om de termen zorgvuldig te substitueren en te herleiden. Let op de haakjes bij aftrekken. Vereenvoudig eerst de termen binnen de haakjes:

•

•

Nu kwadrateren we deze verschillen. Onthoud de regel voor het kwadrateren van een tweeterm:

•

•(3p-1)^2=(3p)^2-2\cdot(3p)\cdot1+1^2=9p^2-6p+1(3p-1)^2=(3p)-2\cdot(3p)\cdot1+1^2=9p^2-6p+1(3p-1)^2=(3p)^-2\cdot(3p)\cdot1+1^2=9p^2-6p+1

•

Tel de gekwadrateerde termen bij elkaar op:

•\left(9p^2-6p+1\right)+\left(4p^2-8p+4\right)\left(9p^2-6p+1\right)+(4p^2-8p+4 Combineer gelijksoortige termen:

•

•

•1+4=51+4=1+41+1

Dus, de uitdrukking onder de wortel is De afstand

Wanneer is de afstand een bepaalde waarde?

Als de afstand tussen twee punten is uitgedrukt in een variabelep,pkun je berekenen voor welke waarde vanpde afstand een specifieke waarde heeft. Vaak wordt hierbij een grafische rekenmachine (GR) gebruikt.

Rekenvoorbeeld 3b: Afstandisberekenp

Bereken voor welkepde afstand tussenengelijk is aanRond af op twee decimalen. We hebben de formule voor de afstand al gevonden in de vorige opgave: We stellen deze afstand gelijk aan

Om deze vergelijking op te lossen, gebruik je een grafische rekenmachine.

1.Voer het linkerdeel van de vergelijking in alsLet op dat je de variabelepvervangt doorde standaardvariabele op de GR.

2.Voer het rechterdeel van de vergelijking in als

3.Gebruik de 'intersect' of 'snijpunt'-functie van je GR om de snijpunten vanente vinden. De GR geeft als oplossing(en) voor(oftewelp))ongeveer1{,}31.131. Dus, voorp\approx1{,}31p\approx131is de afstand tussenengelijk aan