Hoe bepaal ik het middelpunt en de straal van een cirkel uit de vergelijking?

Om het middelpunt en de straal van een cirkel te bepalen uit een gegeven vergelijking, moet je de vergelijking omzetten naar de standaardvorm van een cirkel. Deze standaardvorm is $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, waarbij $(a,b)$ het middelpunt is en $r$ de straal.

De methode die je hiervoor gebruikt, heet kwadraatafsplitsen.

Stappenplan voor het bepalen van het middelpunt en de straal:

1. Herschik de termen: Groepeer de termen met $x$ bij elkaar en de termen met $y$ bij elkaar. Verplaats alle constante termen naar de rechterkant van de vergelijking.
2. Kwadraatafsplitsen voor $x$: Neem de helft van de coëfficiënt van de $x$-term, kwadrateer dit getal en tel het aan beide kanten van de vergelijking op. Dit maakt van de $x$-termen een perfect kwadraat $(x-a)^2$.
3. Kwadraatafsplitsen voor $y$: Doe hetzelfde voor de $y$-termen. Neem de helft van de coëfficiënt van de $y$-term, kwadrateer dit getal en tel het aan beide kanten van de vergelijking op. Dit maakt van de $y$-termen een perfect kwadraat $(y-b)^2$.
4. Vereenvoudig de rechterkant: Tel alle constanten aan de rechterkant bij elkaar op. Dit resultaat is $r^2$.
5. Lees het middelpunt en de straal af:
   • Het middelpunt $(a,b)$ lees je af uit de haakjes $(x-a)^2$ en $(y-b)^2$. Let goed op de tekens: als er $(x-3)^2$ staat, is $a=3$. Als er $(y+2)^2$ staat, is $b=-2$ (want dit is $(y-(-2))^2$).
   • De straal $r$ is de wortel van het getal aan de rechterkant van de vergelijking ($r = \sqrt{r^2}$).

Voorbeeldopgave:

Gegeven de vergelijking van een cirkel: $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$

1. Herschik de termen: $(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 3$

2. Kwadraatafsplitsen voor $x$: De coëfficiënt van $x$ is $-6$. De helft hiervan is $-3$. Het kwadraat van $-3$ is $9$. Tel $9$ aan beide kanten op: $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y) = 3 + 9$ Dit wordt: $(x - 3)^2 + (y^2 + 4y) = 12$

3. Kwadraatafsplitsen voor $y$: De coëfficiënt van $y$ is $4$. De helft hiervan is $2$. Het kwadraat van $2$ is $4$. Tel $4$ aan beide kanten op: $(x - 3)^2 + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 4$ Dit wordt: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$

4. Vereenvoudig de rechterkant: De rechterkant is al vereenvoudigd tot $16$.

5. Lees het middelpunt en de straal af: Vergelijk $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$ met de standaardvorm $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.

• Voor de $x$-coördinaat van het middelpunt: $(x-3)^2$ betekent dat $a = 3$.
• Voor de $y$-coördinaat van het middelpunt: $(y+2)^2$ betekent dat $(y-(-2))^2$, dus $b = -2$.
• Voor de straal: $r^2 = 16$, dus $r = \sqrt{16} = 4$.

Het middelpunt van de cirkel is dus $(3, -2)$ en de straal is $4$.