Hypothesetoetsing via normale verdeling
Laten we als voorbeeld nemen dat we 60 keer met een dobbelsteen gooien, waarbij we focussen op het gooien van een '6'. Als we dit experiment 10.000 keer herhalen, kunnen we ervan uitgaan dat deze stochast normaal verdeeld is. Onze vraag luidt dan: hoe vaak zal ik een '6' gooien? Hierbij transformeren we een binomiaal kansexperiment naar een normale verdeling.
Bij het bekijken van de verwachte uitkomst of het gemiddelde hoe vaak er een '6' wordt gegooid, krijgen we een normale (klok-vormige) verdeling. Bij een normale verdeling, ligt het gemiddelde in het midden en nemen we een significantieniveau α van 0,05. Hierbij blijft er 95% rond het gemiddelde en valt 5% onder het kritieke gebied.
Laten we zeggen dat de standaarddeviatie (afhankelijk van de n of hoe vaak je het experiment uitvoert) 3 is. Voor die 95% hebben we dan 2 keer de standaarddeviatie naar rechts en 2 keer de standaarddeviatie naar links. Daarbuiten bevindt zich het kritieke gebied.
Toepassen van toetsen
De nulhypothese (H0) wordt verworpen wanneer bijvoorbeeld de x kleiner is dan 4 of als de x groter is dan 16. Hierbij is de x afkomstig uit de normale verdeling van de verwachte waarden. Het verwijderen van de nulhypothese vindt plaats aan beide zijden van de verdeling en dit wordt als tweezijdig toetsen gedefinieerd.
Praktijkvoorbeelden
De normale verdeling wordt niet vaak gebruikt voor discrete variabelen, maar het helpt om de overstap te maken. Technisch gezien zou een frisdrankenfabriek een vulmachine kunnen hebben die is ingesteld met een gemiddelde van 1,55 liter en een standaarddeviatie van 0,03 liter. Het toetsen of de machine goed werkt, zou betekenen om te bepalen of het gemiddelde van 100 flessen overeenkomt met wat was ingesteld op de machine. Na controle zie je dat het gemiddelde van 100 flessen 1,51 liter is. Kan je dan concluderen dat de machine goed werkt? Kies α = 0,10. Nu is dus eigenlijk de vraag of de 1,51 liter in het kritieke gebied ligt of niet.
H0: μ = 1,55 liter
H1: μ < 1,55 liter
We berekenen nu de standaardafwijking0,02 liter. $$
Met behulp van de functie invNorm(α, \mu_{\overline{x}}, \sigma_{\overline{x}}, keuze) kunnen we kijken waar de grens ligt. Als we dit invullen krijgen we afgerond 1,524. Dus als we eenzijdig linkszijdig getoetst hebben kunnen we concluderen dat er geldt \overline{x} < 1,524, en dus ligt 1,51 in het kritieke gebied.
Hetzelfde kunnen we ook doen voor bijvoorbeeld een waarde van 1,57 liter, alleen moeten we dan rechtszijdig toetsen. Dit gaat op dezelfde manier als linkszijdig, alleen moet er in de rekenmachine voor rechts in plaats van links gekozen worden.
Bij tweezijdig toetsen moet je en linkszijdig toetsen en rechtszijdig toetsen. Je krijgt dan twee waarden die de kritieke gebieden vormen.
