Toetsen van hypothesen 1

Leerdoelen

•Je kunt een beslissingsvoorschrift opstellen.

•Je kunt een beslissingsvoorschrift gebruiken om een conclusie te trekken.

•Je kunt de nulhypothese en de alternatieve hypothese formuleren.

•Je kunt een conclusie trekken over het aannemen of verwerpen van de nulhypothese.

•Je kunt binomiale kansberekeningen uitvoeren voor discrete variabelen.

•Je kunt de verwachtingswaarde berekenen en interpreteren.

•Je kunt het significantieniveau interpreteren en gebruiken.

•Je kunt het kritieke gebied bepalen.

De nulhypothese en de alternatieve hypothese

Stel je voor dat je met vrienden een spel speelt waarbij je veel gooit met een dobbelsteen. Het valt je op dat je wel erg vaak een zes gooit. Zou de dobbelsteen wel eerlijk zijn, of is hij 'vals'? Als je een vermoeden hebt, zoals "een dobbelsteen is vals", begin je in de wiskunde met een neutrale aanname. Dit noemen we de nulhypothese\left(H_0\right). De nulhypothese stelt altijd dat er geen bijzonder effect is; in dit geval:

•: De dobbelsteen is zuiver (eerlijk).

Daarnaast formuleer je de alternatieve hypothese\left(H_1\right). Dit is wat je vermoedt als de nulhypothese niet blijkt te kloppen:

•: De dobbelsteen is onzuiver en de kans op zes is groter dan\frac16\frac{1}{\placeholder{}}.

Je doel is om op basis van waarnemingen te beslissen of je voldoende bewijs hebt om de nulhypothese te verwerpen ten gunste van de alternatieve hypothese.

De binomiale kansverdeling

Waarom is dit een geval van binomiale kansrekening? Omdat elke worp van de dobbelsteen maar twee mogelijke uitkomsten heeft waar we in geïnteresseerd zijn: of je gooit een zes (succes) of je gooit geen zes (mislukking). Dit herhaal je een vast aantal keer.

Stochast, aantal worpen en kans op succes

Laten we uitgaan van het voorbeeld waarin je twaalf keer met de dobbelsteen gooit.

•De stochastis het aantal keer dat je een zes gooit.

•Het aantal herhalingen (worpen) is.

•Als de dobbelsteen zuiver is, is de kans op succes (een zes gooien) per worpp=\frac16p=\frac{1}{\placeholder{}}p=1p=1/.

De verwachtingswaarde

Als je twaalf keer met een zuivere dobbelsteen gooit, hoe vaak zou je dan verwachten een zes te gooien? Dit is de verwachtingswaarde, die je berekent met de formuleE(X)=n\cdot pE(X)=np.

•E(X)=12\cdot\left(\frac16\right)=2E(X)=12\cdot\frac16)=2E(X)=12\cdot(\frac16)=2E(X)=12\cdot(\frac166)=2E(X)=12\cdot(\frac{1}{\placeholder{}}6)=2E(X)=12\cdot(16)=2E(X)=12\cdot(1/6)=2E(X)=12(1/6)=2E(X) = 12 * (1/6) = 2E(X)=12(1/6)=2E(X)=12\left((1/6\right)=2E(X)=12\left((1/6\right)=2*(X)=12\left((1/6\right)=2\cdot(X)=12\left((1/6\right)=2(X)=12\left((1/6\right)=2\cdot(X)=12\left((1/6\right)=2(X)=12\left((1/6\right)=2E(X)=12\left((1/6\right)=2E(X)=12(1/6)=2

Je verwacht dus twee keer een zes te gooien. Natuurlijk is dit een gemiddelde; het kan best zijn dat je één, drie of zelfs nul keer een zes gooit bij twaalf worpen. Dit is normaal.

Kansberekening met de binomiale PDF

Om de exacte kans te berekenen dat je een specifiek aantal keren zes gooit (bijvoorbeeld drie keer), gebruik je de binomiale kansrekening. Je grafische rekenmachine heeft hiervoor de functie binompdf. Stel dat(je gooit drie keer een zes).

•P\left(X=3\,|\,n=12,\,p=\frac16\right)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,3\right)P\left(X=3\,|n=12,\,p=\frac16\right)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,3\right)P\left(X=3\,|n=12,\,p=\frac16\right)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,3\right)P\left(X=3\,|n=12,\,p=\frac16\right)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,3\right)P\left(X=3|n=12,\,p=\frac16\right)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,3\right)P\left(X=3|n=12,\,p=\frac16\right)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,3\right)P\left(X=3|n=12,\,p=\frac16\right)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,3\right)P\left(X=3|n=12,\,p=\frac16\right)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,3\right)P\left(X=3|n=12,\,p=\frac16\right)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,3\right)P\left(X=3|n=12,\,p=\frac16\right)=binompdf12{,}\,\frac16,\,3)P\left(X=3|n=12,\,p=\frac16\right)=binompdf(12{,}\,\frac16,\,3)P\left(X=3|n=12,p=\frac16\right)=binompdf(12{,}\,\frac16,\,3)P\left(X=3|n=12,p=\frac16\right)=binompdf(12{,}\,\frac16,\,3)P\left(X=3|n=12,p=\frac16\right)=binompdf(12{,}\,\frac16,\,3)PX=3|n=12,p=\frac16)=binompdf(12{,}\,\frac16,\,3)P(X=3|n=12,p=\frac16)=binompdf(12{,}\,\frac16,\,3)P(X=3|n=12,p=\frac{1}{\placeholder{}})=binompdf(12{,}\,\frac16,\,3)P(X=3|n=12,p=1)=binompdf(12{,}\,\frac16,\,3)P(X=3|n=12,p=1/)=binompdf(12{,}\,\frac16,\,3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac16,\,3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac16,3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac16,3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac16,3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac163)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac16,3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac{1}{},3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac{1}{g},3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac{1}{\placeholder{}},3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,1,3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,1/,3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,1/6,3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}1/6,3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}1/6,3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}1/6,3)P(X=3|n=12,p=1/6)=binompdf(121/6,3)

•Uitkomst:.

Dit betekent dat de kans om precies drie keer een zes te gooien bij twaalf worpen ongeveer 19,74% is. Dit is geen hele kleine kans, dus drie keer zes gooien is zeker mogelijk, ook al is het iets meer dan de verwachtingswaarde van twee.

Het beslissingsvoorschrift

Wanneer is het aantal zessen nu zo uitzonderlijk dat je zegt: "De dobbelsteen is echt niet zuiver; ik verwerp"? Dit is de kern van het beslissingsvoorschrift. Het gaat erom een grens te stellen, want ook al is de kans klein, theoretisch gezien zou je twaalf keer zes kunnen gooien met een zuivere dobbelsteen.

Het significantieniveau

Om te bepalen wanneer een uitkomst 'te uitzonderlijk' is, gebruiken we het significantieniveau\left(\alpha\right)\alpha. Dit is de maximale kans die je acceptabel vindt om de nulhypothese\left(H_0\right)onterecht te verwerpen. Met andere woorden, hoe klein mag de kans zijn op jouw waarneming (of nog extremer) onder de aanname datwaar is, voordat jeverwerpt? Het significantieniveau wordt meestal gegeven in de opgave en is vaak(10%) of(5%). Stel je gooit twaalf keer met de dobbelsteen en krijgt twaalf keer een zes.

•P\left(X=12\,|\,n=12,\,p=\frac16\right)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)PX=12\,|\,n=12,\,p=\frac16)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12\,|\,n=12,\,p=\frac16)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12\,|\,n=12,\,p=\frac{1}{\placeholder{}})=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12\,|\,n=12,\,p=1)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12\,|\,n=12,\,p=1/)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12\,|\,n=12,\,p=1/6)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12\,|\,n=12,p=1/6)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12\,|\,n=12,p=1/6)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12\,|\,n=12,p=1/6)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12\,|n=12,p=1/6)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12\,|n=12,p=1/6)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12\,|n=12,p=1/6)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf\left(12{,}\,\frac16,\,12\right)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf12{,}\,\frac16,\,12)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac16,\,12)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac16,12)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac16,12)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac16,12)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac1612)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,\frac{1}{\placeholder{}}12)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,112)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}\,12)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}12)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}12)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12{,}12)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(1212)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12,12)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12,,12)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12,1,12)P(X=12|n=12,p=1/6)=binompdf(12,1/,12)

•Uitkomst:(oftewel).

Deze kans is extreem klein. Als je dit observeert, is de kans dat de dobbelsteen zuiver is (is waar) en je dit toch ziet, praktisch nul. In zo'n geval zou jeverwerpen.

De grafische rekenmachine als hulpmiddel

De grafische rekenmachine (GR) kan je helpen om de kansen voor alle mogelijke uitkomsten snel te overzien. Je kunt de binompdf-functie invoeren inY1=binompdf(12{,}\,\frac16,\,X)YY1=binompdf(12{,}\,\frac16,\,X)Y1Y1=binompdf(12{,}\,\frac16,\,X)Y1:Y1=binompdf(12{,}\,\frac16,\,X)Y1:Y1=binompdf(12{,}\frac16,\,X)Y1:Y1=binompdf(12{,}\frac16,\,X)Y1:Y1=binompdf(12{,}\frac16,\,X)Y1:Y1=binompdf(12\frac16,\,X)Y1:Y1=binompdf(12,\frac16,\,X)Y1:Y1=binompdf(12,\frac{1}{\placeholder{}},\,X)Y1:Y1=binompdf(12,1,\,X)Y1:Y1=binompdf(12,1/,\,X)Y1:Y1=binompdf(12,1/6,\,X)Y1:Y1=binompdf(12,1/6,X)Y1:Y1=binompdf(12,1/6,X)Y1:Y1=binompdf(12,1/6,X). Als je vervolgens de tabeloptie kiest, zie je voor elke mogelijke waarde van(tot en met) de bijbehorende kans.

Het kritieke gebied

Stel dat het significantieniveauis. Dat betekent dat we de nulhypothese verwerpen als de kans op de specifieke waarneming die we hebben gedaan te klein is.

We kijken in de tabel van de GR, beginnend bij de meest extreme waarden (hoogste aantallen zessen), en zoeken naar de X-waarden die een kans hebben die kleiner is dan\alpha\,\left(0{,}05\right)\alpha\left(0{,}05\right)\alpha\left(0{,}05\right)\alpha\left(0{,}05\right)\left(0{,}05\right)\left(0{,}05\right)\left(0{,}05\right)\left(0{,}05\right).

•Bijis de kans. Dit is groter dan.

•Bijis de kansP(X=5)=0{,}0284P(X=5)=0{,}028P(X=5)=0{,}02. Dit is kleiner dan.

Dus, vanaf vijf keer zes gooien\left(X=5\right)is de kans zo klein geworden dat we de uitkomst als uitzonderlijk beschouwen. Het kritieke gebied bestaat dus uit de uitkomsten 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 en 12. Als het waargenomen aantal zessen een van deze waarden is, verwerpen we.

Rekenvoorbeeld

Rasha twijfelt aan de zuiverheid van een dobbelsteen. Ze besluit hemkeer te gooien. In dit experiment valt de dobbelsteen elf keer op zes. Ze kiest een significantieniveau. Welke conclusie zal zij trekken?

Stap 1: Hypothesen formuleren

•: De dobbelsteen is zuiverp=\frac16p=\frac{1}{\placeholder{}}.

•: De dobbelsteen is onzuiverp > \frac{1}{6}. Er wordt hier voor(en niet voor) gekozen, omdat het vermoeden is dat er specifiek te vaak zes wordt gegooid.

Stap 2: Gegevens noteren

•Aantal worpen

•Kans op zes\left(p\right)onderH_0:p=\frac16H_0:p==\frac16H_0:p=\frac16H_0:=\frac16H_0:\left\lbrack=\frac16\right\rbrackH_0:=\frac16H_0=\frac16H_0=\frac{1}{\placeholder{}}

•Waargenomen aantal successen:x=11\left(x\right.=11\left(x\right)=11\left(x=11\right)

•Significantieniveau

Stap 3: Kansverdeling instellen in de GR Rasha voert de functie in haar GR in:Y1=binompdf\left(25,\,\frac16,\,X\right)Y1=binompdf25,\,\frac16,\,X)Y1=binompdf(25,\,\frac16,\,X)Y1=binompdf(25,\,\frac16,X)Y1=binompdf(25,\,\frac16,X)Y1=binompdf(25,\,\frac16,X)Y1=binompdf(25,\frac16,X)Y1=binompdf(25,\frac16,X)Y1=binompdf(25,\frac16,X)Y1=binompdf(25,\frac166,X)Y1=binompdf(25,\frac{1}{\placeholder{}}6,X)Y1=binompdf(25,16,X). Vervolgens opent ze de tabel om de kansen te bekijken.

Stap 4: Kritieke gebied bepalen We zoeken naar de X-waarden waarbij. We kijken weer vanaf de hogere X-waarden, want Rasha gooit veel zessen (een extreem hoge waarde).

•Bijis de kansP(X=7)=0{,}0645P(X=7)=00645. Dit is groter dan\alpha\,(0{,}05)\alpha(0{,}05)\alpha(0{,}05)\alpha(0{,}05)\alpha(005).

•Bijis de kansP(X=8)=0{,}029P(X=8)=0{,}02P(X=8)=0{,}026P(X=8)=0{,}0264P(X=8)=00264. Dit is kleiner dan\alpha\,(0{,}05)\alpha(0{,}05)\alpha(0{,}05)\alpha(0{,}05)\alpha(005).

Het kritieke gebied voor het verwerpen van(aan de 'hoge' kant) begint dus bij. Dit betekent dat als Rasha 8 of meer zessen gooit, dit als te uitzonderlijk wordt beschouwd voor een zuivere dobbelsteen bij dit significantieniveau.

Stap 5: Conclusie trekken Rasha heeft elf keer een zes gegooid. Omdat de waarnemingin het kritieke gebied\left(X\ge8\right)valt, verwerpen we de nulhypothese. Hierdoor zal Rasha de nulhypothese\left(H_0\right)verwerpen en concluderen dat de dobbelsteen onzuiver is.