Toetsen van hypothesen 1

In dit artikel over hypothesetoetsing leer je een aantal belangrijke begrippen:

•Beslissingsvoorschrift: Hoe een hypothese wordt bepaald en gebruikt.

•Nulhypothese (H₀): Dit is de hypothese die aan de start van het onderzoek als waar wordt aangenomen.

•Alternatieve hypothese (H₁): Dit is de hypothese die wordt aangenomen als de nulhypothese wordt verworpen.

•Overschrijdingskans (P): De kans dat de uitkomst van een toetsresultaat extremer is dan bij de hypothesetoets, gegeven dat de nulhypothese waar is.

•Binomiale kansverdeling: Een soort waarschijnlijkheidsverdeling voor discrete variabelen (variabelen die alleen bepaalde waarden kunnen hebben).

Een praktisch voorbeeld: is de dobbelsteen eerlijk?

Stel dat we onderzoeken of een dobbelsteen eerlijk is. We gooien deze twaalf keer. De variabele X (de stochast) is het aantal keer dat we een 6 gooien. De kans op 6 gooien is\frac{1}{6}\large{\frac{1}{6}}\frac{1}{6}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}\large{\frac{1}{6}}. Als je twaalf keer gooit, is de kans op het aantal keer 6 gooien dus gelijk aan\frac{12}{6}\large{\frac{12}{6}}\frac{12}{6}\large{\frac{12}{6}}\large{\frac{12}{6}}\large{\frac{12}{6}}\large{\frac{12}{6}}\large{\frac{12}{6}}\large{\frac{12}{6}}\large{\frac{12}{6}}\large{\frac{12}{6}}\large{\frac{12}{6}}\large{\frac{12}{6}}\large{\frac{12}{6}}\large{\frac{12}{6}}\large{\frac{12}{6}}, wat gelijk aan 2 is.

Verwachtingswaarde

De verwachtingswaarde E(x) is het gemiddeld aantal keer dat we een 6 verwachten te gooien. Dit is gelijk aan n (aantal worpen) keer p (kans op een bepaalde uitkomst), ofwel E(X) =\frac{12\cdot1}{6}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\frac{12\cdot1}{6}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot1}{6}}\large{\frac{12 \cdot 1}{6}}= 2. Dus we verwachten gemiddeld 2 keer een 6 te gooien.

Berekenen van de kans

Als we de kans willen weten dat we 3 keer een 6 gooien, berekenen we dit met de binomiale kansenfunctie (binompdf), waarbij we de n vervangen door 12 en de p door\frac{1}{6}\large{\frac{1}{6}}en X door 3. Met behulp van de binompdf functie op de grafische rekenmachine volgt dat de kans op 3 keer een 6 gooien 0,1974 is.

Het kritieke gebied en het bepalen van de hypothese

Wanneer zeggen we nu dat de dobbelsteen oneerlijk is? Hiervoor stellen we een beslissingsvoorschrift op. We stellen de nulhypothese op H₀ = de dobbelsteen is zuiver. Ook stellen we een alternatieve hypothese op H₁ = de dobbelsteen is onzuiver. Nu is de vraag wanneer de nulhypothese verworpen wordt. De kans dat H₀ onterecht verworpen wordt is gelijk aan α, het significantieniveau. De H₀ wordt aangenomen zolang de geworpen 6 binnen het verwachte bereik valt, oftewel tot het punt waar de kans kleiner wordt dan het significantieniveau. Deze grens noemen we het kritieke gebied. Als de testwaarde (het aantal keer dat we 6 gooien) in dit gebied valt, verwerpen we de nulhypothese. Dus als we weer kijken naar de dobbelsteen en we gooien weer 12 keer. We rekenen dan de kans dat we 12 keer een 6 gooien uit. Dit doen we wederom met de binompdf, dus P(X = 12) = binompdf(n = 12, p =\frac{1}{6}\large{\frac{1}{6}}, X = 12) = 4,594 · 10^-10. Deze kans is dus heel klein. Deze uitkomst vergelijken we met het significantieniveau. Deze wordt altijd gegeven in de vraag en is in dit geval α = 0,10. P(X = 12) is kleiner dan α, dus de nulhypothese kan verworpen worden.

Voorbeeld oefening

Laten we een voorbeeld nemen. Rasha gooit een dobbelsteen 25 keer en krijgt 11 keer een 6. Ze wil weten of de dobbelsteen oneerlijk is, met een significantieniveau van 0,05. In de grafische rekenmachine voert zij de berekening uit met behulp van de binompdf functie en vervolgens de optie table te gebruiken en vindt dat 7 keer een 6 gooien nog aanvaardbaar is (0,0645), maar vanaf 8 keer is het kritieke gebied bereikt. Rasha's resultaat ligt dus in het kritieke gebied en ze neemt H₁ aan: de dobbelsteen is oneerlijk.