Rijen en Reeksen 1

Rekenkundige rijen

Laten we beginnen met het verkennen van een rekenkundige rij. Een vereenvoudigd scenario zou kunnen zijn: je spaart geld en begint met 15 euro, waaraan je iedere week 7 euro toevoegt. Dan heeft je spaarpot rij-termen als 15, 22, 29, 36 etc.

We creëren een recursieve formule als een manier om het huidige saldo te berekenen. Het is als volgt: u_n = u_n-1 + 7, waarbij u_n de 'nde' term is en u_n-1 de term voor 'vorige week'. Bij deze formule is het belangrijk dat we aangeven dat we beginnen bij u₀ = 15.

Een directe formule wordt gebruikt om het eindsaldo na een bepaalde periode te berekenen, zeg na 5 weken. In dit geval wordt u_n de vijfde term en als we deze willen berekenen, gebruiken we de formule: u_n = u₀ + 7n. Als we dan het saldo in week vijf willen weten, vullen we n = 5 in. We krijgen dan u₅ = 15 + 7 · 5 = 15 + 35 = 50 euro.

Meetkundige rijen

Hier is een ander soort rij, de meetkundige rij. Stel je voor dat je 150 euro op de bank hebt en ieder jaar krijg je 2% rente. In dit geval wordt je reeks de volgende: 150, 153, 156,06, 159,18, 162,36 etc.

Voor dit soort rij hebben we ook twee formules. De recursieve formule neemt de vorm aan van u_n = u_n-1 · 1,02. Je moet ook weer aangeven wat u₀ is. In dit geval geldt u₀ = 150. Voor de directe formule, om het saldo na bijvoorbeeld vier jaar te berekenen, hebben we u_n = 150 · 1,02ⁿ, waarbij n het aantal termen is.

Rekenkundig en meetkundig gecombineerd

We kunnen ook een geval hebben waarbij de rekenkundige rijen gecombineerd worden met meetkundige rijen. Als voorbeeld kijken we naar een spaarrekening. We beginnen met 150 euro. Ieder jaar komt hier 1,02 procent rente bij en wordt er 80 euro op de rekening gestort om te sparen. De recursieve formule wordt hier dan saldo_n = saldo_n-1 · 1,02 + 80, waarbij u₀ = 150. Een directe formule is hier niet in een keer te maken. Je kan een directe formule opstellen voor het deel waarbij de percentages bijkomen en een directe formule waarbij de 80 euro wordt gespaard. De formule voor het percentage is dan u_n = 150 · 1,02ⁿ. De formule voor de gespaarde 80 euro is dan u_n = 150 + 80n.

Begrippen

Rij van termen u₀ tot en met u_n: u₀, u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, ..., u_n-1, u_n. Hier is u₀ de eerste term en dus bijvoorbeeld u₃ de vierde term en u_n is de laatste term. Een andere manier van noteren is u(0), u(1), u(2), ..., u(n-1), u(n), waarbij 0, 1, 2, 3, etc. de rang nummers zijn. Dit heet de functie notatie. De notatie die we voorheen gebruikte heet de indexnotatie.

Reeks

Tot nu toe hebben we het over rijen gehad, dus laten we nu naar reeksen kijken. Een reeks wordt gemaakt door de termen van een rij op te tellen, wat ook wel de somrij wordt genoemd.

Een voorbeeld van een rij is 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33. De somrij is dan deze getallen bij elkaar opgeteld. Dus 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29 + 33. Dit is dan de reeks. De somrij wordt ook wel geschreven als S_n = u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + ... + u_n-1 + u_n. Dit voorbeeld is een rekenkundige rij, want er komt steeds 4 bij. We spreken dan van een verschil van 4.

Een interessant patroon dat is te ontdekken in reeksen van rekenkundige rijen is dat als je de eerste term van de reeks optelt bij de laatste term, het resultaat hetzelfde is als het optellen van de tweede term met de een-na-laatste term, enzovoort. Het is zelfs sneller om de termen zo op te tellen dan elk van de acht termen apart op te tellen.

De somrij kan je niet alleen berekenen met de formule S_n = u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + ... + u_n-1 + u_n maar ook met de formule.