Hoe bepaal je het aantal positieve termen in een rekenkundige rij?

Om het aantal positieve termen in een rekenkundige rij te bepalen, volg je een gestructureerd stappenplan. Een rekenkundige rij is een reeks getallen waarbij het verschil tussen opeenvolgende termen constant is.

Hier is het stappenplan:

1. Bepaal de beginterm ($u_0$ of $u_1$) en het vaste verschil ($d$):

   • De beginterm is het eerste getal in de rij. Dit kan $u_0$ zijn (als de rij begint bij index 0) of $u_1$ (als de rij begint bij index 1).
   • Het vaste verschil ($d$) vind je door een term af te trekken van de daaropvolgende term (bijvoorbeeld $u_1 - u_0$ of $u_2 - u_1$). Let goed op of het verschil positief of negatief is.

2. Stel de algemene formule voor de $n$-de term ($u_n$) op:

   • Als de rij begint met $u_0$: $u_n = u_0 + n \cdot d$
   • Als de rij begint met $u_1$: $u_n = u_1 + (n-1) \cdot d$

3. Stel een ongelijkheid op voor positieve termen:

   • Je wilt weten wanneer de termen positief zijn, dus wanneer $u_n > 0$.
   • Vul de algemene formule die je in stap 2 hebt opgesteld in de ongelijkheid in: $u_0 + n \cdot d > 0$ (of $u_1 + (n-1) \cdot d > 0$).

4. Los de ongelijkheid op voor $n$:

   • Isoleer $n$ in de ongelijkheid.
   • Belangrijk: Als je deelt of vermenigvuldigt met een negatief getal, moet het ongelijkheidsteken omdraaien (dus van $>$ naar $<$ of andersom).

5. Tel het aantal mogelijke waarden voor $n$:

   • De oplossing van de ongelijkheid geeft je een bereik voor $n$.
   • Tel alle gehele getallen voor $n$ die binnen dit bereik vallen en die overeenkomen met de indexering van de rij (meestal beginnend bij $n=0$ of $n=1$). Dit aantal is het aantal positieve termen.

Voorbeeld: Gegeven is de rekenkundige rij: $u_n: 3125, 2500, 1875, 1250, ....$ met beginterm $u_0 = 3125$. Hoeveel positieve termen heeft deze rij?

1. Beginterm en vast verschil:

   • De beginterm is $u_0 = 3125$.
   • Het vaste verschil $d$ is $2500 - 3125 = -625$.

2. Algemene formule voor $u_n$:

   • Aangezien de rij begint met $u_0$, gebruiken we $u_n = u_0 + n \cdot d$.
   • Invullen geeft: $u_n = 3125 + n \cdot (-625)$, wat vereenvoudigt tot $u_n = 3125 - 625n$.

3. Ongelijkheid voor positieve termen:

   • We willen weten wanneer $u_n > 0$:
   • $3125 - 625n > 0$

4. Los de ongelijkheid op voor $n$:

   • Trek $3125$ af van beide kanten: $-625n > -3125$
   • Deel beide kanten door $-625$. Vergeet niet het ongelijkheidsteken om te draaien! $n < \frac{-3125}{-625}$ $n < 5$

5. Tel het aantal positieve termen:

   • De ongelijkheid $n < 5$ betekent dat $n$ kleiner moet zijn dan 5.
   • Aangezien de rij begint met $u_0$, zijn de mogelijke gehele waarden voor $n$ die positieve termen geven: $0, 1, 2, 3, 4$.
   • Dit zijn in totaal 5 termen.

De rij heeft dus 5 positieve termen.