De eerste acht mensen in de rij krijgen willekeurig een zitplaats toegewezen. Op hoeveel manieren kunnen deze 8 mensen plaatsnemen?
Leerdoelen
•Je kunt een stappenplan gebruiken om telproblemen op te lossen
•Je kunt een diagram tekenen en gebruiken bij een telprobleem
•Je kunt faculteit, permutaties en combinaties toepassen om berekeningen uit te voeren
Telproblemen
Er zijn drie belangrijke stappen die we moeten volgen bij telproblemen:
1.Is de volgorde van belang?
2.Is het met of zonder terugleggen?
3.Optellen of vermenigvuldigen?
Machtsboom en faculteit
Als de volgorde van belang is, dan kunnen we dit oplossen door systematisch te noteren. We kunnen een machtsboom of een faculteitsboom maken. Bij een machtsboom wordt de berekening uitgevoerd met een macht (a^{m}a^{m}a^{\placeholder{}}\placeholder{}^{\placeholder{}}), en bij een faculteitsboom spreken we van permutaties (nPr).
Combinaties
Wanneer de volgorde NIET van belang is, kunnen we ook systematisch tellen of het aantal wegen in een rooster doen. Hier hebben we n boven r, of nCr. Dit wordt uitgerekend en we noemen dit combinaties.
Laten we eens kijken naar een praktijkvoorbeeld, stel, we hebben vijf kleurpotloden en kunnen deze op twaalf verschillende manieren plaatsen. Voor het eerste potlood hebben we twaalf keuzes, voor het tweede nog elf plaatsen en zo verder. Dit resulteert in\frac{12!}{7!}\frac{12!}{7!}\frac{121}{7!}, oftewel de faculteit van 12 gedeeld door de faculteit van 7 of 12 nPr 5, en het totale aantal manieren is 95.040.
Wanneer we echter met vijf zwarte potloden werken, verandert de situatie, omdat de volgorde niet uitmaakt (de potloden zijn inwisselbaar). In dit geval praten we over twaalf boven vijf, of 12 nCr 5. Dit resulteert in slechts 792 mogelijkheden.
Machtsboom voor verschillende situaties
Laten we nu kijken naar het gebruik van de machtsboom voor een cijferslot. Stel dat we een slot hebben met drie wieltjes en elk wieltje heeft tien mogelijkheden. Het totale aantal combinaties is 10 · 10 · 10, of 103, wat 1.000 mogelijkheden zijn.
Dit concept kan ook worden toegepast in de faculteitsboom, maar nu voor de kleurpotloden. We hebben 12 · 11 · 10 · 9 · 8 mogelijkheden voor de vijf kleurpotloden, dat is 95.040. Dit kan ook geschreven worden als de faculteit van 12 gedeeld door de faculteit van 7.
